4/10/04 Esercizi Lez. 1

Risoluzione (ovvero trovo l'insieme soluzione cioè l'insieme dei valori che sostituiti alla variabile rendono vera la dis/equazione)

1) 3x -5 = 12
    3x    = 17
      x      = 17/3
                          {xÎR, x = 17/3}

2) 12x - 3 = 5
    12x       = 8
        x       = 8/12 = 2/3
                          {xÎR, x = 2/3}

3) 7x+4 ³ 2x-3
     7x-2x ³ -3-4
     5x    ³ -7
     x    ³ -7/5
                          {xÎR, x ³ -7/5}

4) 2x-4 £ 3-4x
      6x £ 7
         x £ 7/6
                          {xÎR, x  £ -7/5}

5) 3x² -5x + 2 = 12
3x² -5x -10 = 0
    applico la formula risolutiva delle eq. di II grado
(che fornisce sempre due soluzioni andando a pescare dai complessi oppure
0,due coicidenti o due distinte se si pesca solo dai reali)
le due soluzioni sono x _1,2= [-b ± Ö(b² -4ac) ] / 2a
quindi x_{1,2 =}[5 ± Ö(25 -4*3*-10)]/6 = [5 ± Ö(25+120)]/6= [5 ± Ö145]/6
                      {xÎR, x = [5 -Ö145]/6 oppure [5 + Ö145]/6 } essendo il discriminante positivo sono reali e distinte
(l'insieme soluzione contiene due elementi, cioè esistono due valori di x che rendono vera l'eq.)

6) 12x² -3x -2 = 7
12x² -3x -9 = 0
x_{1,2 =}[3 ± Ö(9 -4*12*-9)]/24 = [3 ± Ö(9+36*12)]/6= [3 ± Ö(9+360+72)]/6= [3 ± Ö(9+432)]/6=[3 ± Ö(441)]/6=[3 ± 21]/6
essendo il discriminante positivo sono reali e distinte
{xÎR, x = 4 oppure x = -3 }

7) 5x² -4x ³ 12
    5x² -4x - 12 ³ 0
per risolvere questa disequazione comincio con il trovare dove vale zero e siccome "è una parabola rivolta verso l'alto" sarà positiva per valore esterni a questo intervallo:
trovo dove vale zero:

    x_1,2
=[4 ± Ö(16 - 4*5*-12)]/10 = [4 ± Ö(16+240)]/10= [4 ± Ö256]/10= [4 ± 16]/10=

                 x = -12/10 oppure x = 26/10
semplificando:
                  x = -6/5 oppure x = 13/5
                                                               {xÎR, x <-6/5 oppure x>13/5 }

8) 12 £ 3x² + 4x
3x² + 4x -12³ 0
per risolvere questa disequazione comincio con il trovare dove vale zero e siccome "è una parabola rivolta verso l'alto" sarà positiva per valore esterni a questo intervallo:
trovo dove vale zero:
x_1,2
=[4 ± Ö(16 - 4*3*-12)]/6 = [4 ± Ö(16+144)]/6= [4 ± Ö160]/6= [4 ± Ö16*10]/6=[4 ± 4Ö10]/6=[2 ± 2Ö10]/3
{xÎR, x <[2 -2Ö10]/3 oppure x>[2 + 2Ö10]/3 }

9) 7x² +a ³ 2
    7x² ³ 2-a
    x² ³ (2-a)/7 (parabola verso l'alto: è maggiore di quel numero per valori esterni a ± Ö( )
                                                                {xÎR, x < -Ö [(2-a)/7] oppure x>Ö [(2-a)/7] }

10) 2x - (c+d)² £ 7
   2x £ 7 + (c+d)²
       x £ 7 + (c+d)²
    {xÎR, x £ 7 + (c+d)²}
ovviamente questa soluzione è algebrica e non numerica fino a quando qualcuno non mi dice quanto valgono c e d
se vogliamo possiamo chiamarla disequazione letterale nel senso che contiene delle lettere, nel limite del possibile comunque, noi, l'insieme soluzione, l'abbiamo trovato: tutti gli x che appartengono ai reali che sono fatti a quel modo soddisfano l'equazione
(eh... ma non so quanto valgono quindi non l'ho risolto! errato: l'ho risolto "algebricamente" cioè tratto le lettere come se fossero dei numeri... non appena mi verranno dette la soluzione diventerà anche numerica esempio se c e d valessero 1 e 2 la soluzione diverrebbe:
   {xÎR, x £ 7 + (1+2)²}
   {xÎR, x £ 7 + 9}
   {xÎR, x £ 16}
da notare che l'insieme soluzione, qui come in tutte le disequazioni viste sopra contiene un numero infinito di elementi.