**Esercizio: Movimento Armonico Semplice (MAS) di un Pendolo** Un pendolo semplice di lunghezza \(L\) è dislocato di un piccolo angolo \(\theta_0\) rispetto alla verticale e poi rilasciato. Assumendo che l'angolo \(\theta_0\) sia abbastanza piccolo da poter approssimare \(\sin(\theta_0) \approx \theta_0\) (in radianti) e ignorando l'attrito: a) Deriva un'espressione per l'accelerazione angolare \(\alpha\) del pendolo in funzione di \(L\), \(g\) (accelerazione dovuta alla gravità) e \(\theta\). b) Dimostra che il pendolo esegue un movimento armonico semplice e trova la frequenza angolare \(\omega\) e il periodo \(T\). **Soluzione**: a) La forza torcente (momento torcente) che agisce sul pendolo quando è dislocato di un angolo \(\theta\) è proporzionale al seno dell'angolo: \[ \tau = -mgL \sin(\theta) \] Ma, per piccoli angoli, \(\sin(\theta) \approx \theta\), quindi: \[ \tau = -mgL \theta \] Il momento d'inerzia \(I\) del pendolo rispetto al punto di sospensione è \(I = mL^2\). L'accelerazione angolare \(\alpha\) è data da: \[ \alpha = \frac{\tau}{I} \] Sostituendo le espressioni per \(\tau\) e \(I\) otteniamo: \[ \alpha = \frac{-mgL \theta}{mL^2} \] \[ \alpha = -\frac{g}{L} \theta \] b) L'equazione dell'accelerazione angolare ha la stessa forma dell'equazione del MAS: \[ \alpha = -\omega^2 \theta \] Comparando le due espressioni, vediamo che: \[ \omega^2 = \frac{g}{L} \] Da cui: \[ \omega = \sqrt{\frac{g}{L}} \] Il periodo \(T\) è: \[ T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} \] **Risposte**: a) \( \alpha = -\frac{g}{L} \theta \) b) Il pendolo esegue un MAS con: \[ \omega = \sqrt{\frac{g}{L}} \] \[ T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} \]