punto medio (-2) $M(x,y)=( (A_x+B_x)/2, (A_y+B_y)/2)$ distanza (-1)$d(A,B)=sqrt( (A_x-B_x)^2 + (A_y-B_y)^2)
rette
retta implicita (1) $ax+by+c=0$ (tutte le rette) ; (2) $y=mx+q$ (non funziona per le verticali) passaggio da una all'altra: (3)$ m=-a/b ; (4)q = -c/b$ fasci di rette: fascio rette orizzontali:(5) $y=k$ fascio rette verticali (6) $x=k$ fascio rette per $(x_0,y_0)$ :(7) $y = m(x-x_0)+y_0$ : fascio rette parallele a quella di coeff. ang. m : (8)$y = mx + q$ con $q$ da determinarsi condizioni particolari (9) passa per l'origine $harr c=0$ due rette parallele: (10) $m_2=m_1$ due rette perpendicolari: (11) $m_2 = -1/m_1$ ricavare l'eq. retta per due punti qualsiasi $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$:(12) $(y-y_1)/(y_1-y_2) = (x-x_1)/(x_1-x_2)$ retta per due punti sugli assi $(p,0) e (0,q)$ :(13) $x/p+y/q = 1$ distanza punto retta (14)$d(p,r)= |ax_0+by_0+c|/sqrt(a^2+b^2)$ oppure (15)$|mx_0-y_0+q|/sqrt(1+m^2)$
circonferenze
circonferenza $gamma(x_0,y_0,r)$ centro $(x_0,y_0)$ raggio $r$ (16)$sqrt((x-x_0)^2+(y-y_0)^2)=r$ (vincolo di equidistanza di $(x,y)$ da $(x_0,y_0)$ sviluppo:(17) $ x^2-2xx_0+x_0^2+y^2-2yy_0+y_0^2=r^2$ voglio che sia (17bis) $x^2+y^2+alphax+betay+gamma=0 $ allora devo porre (18,19,20) $ alpha=-2x_0 , beta=-2y_0, gamma=x_0^2+y_0^2-r^2$ quindi (21,22,23) $x_0=-α/2 , y_0=-β/2 , r=sqrt(x_0^2+y_0^2-gamma)$ casi particolari centro su asse y in C(0,y) (24) $x^2+y^2+betay+gamma=0$ cioe' $alpha=0$ centro su asse x in C(x,0) (25) $x^2+y^2+alphax+gamma=0$ cioe' $beta=0$ centro nell'origine C(0,0) :(26) $x^2+y^2+gamma=0$: cioe' cioe' $alpha=beta=0$
passa per l'origine C(0,0): (27) $x^2+y^2+αx+βy=0$ cioe' $γ=0$ tangente nell'origine e $C(0,y_0)$: (28) $x^2+y^2+betay=0$ tangente nell'origine e $C(x_0,0)$: (29) $x^2+y^2+alphax=0$ posizioni retta/circonferenza (30)$d(r,centro)ltr $ secante ( sistema retta- circonferenza : $Delta<0$ ) (31)$d(r,centro)=r$ tg ( sistema retta- circonferenza : $Delta=0$ ) (32)$d(r,centro)>r$ esterna ( sistema retta- circonferenza : $Delta>0$ ) eq. di rette particolari alla circonferenza retta tg in $(P_x,P_y)$ : (33) $(P_x-x_0)(x-P_x)+(P_y-y_0)(y-P_y) =0$ retta $_|_$ in $(P_x,P_y)$ :(34) $(P_x-x_0)(x-P_x)- (P_y-y_0)(y-P_y) =0$ asse (34bis) $(x-x_1)^2+(y-y_1)^2=(x-x_2)^2+(y-y_2)^2$
problemi
Intersezioni: si mette a sistema i luogi di punti determinati dalle equazioni, escono i punti che appartengono ai vari luoghi geometrici tra rette (prima studio a mente i tre casi: rette parallele $0$ pti, rette coincidenti $oo$ punti, rette incidenti $1$ punto) ${(ax+by+c=0),(a'x+b'x+c'=0):}$ (due rette $rarr$ 1 punto)
trovare tutti i punti che costituiscono la bisettrice di due semirette: impongo $d(P,r)=d(P,s)$ cioe' (14)=(14)' mi dara' un $Ax+By+C=0$
trovare la eq. dati... p1)eq.(r,centro):uso 21,22,23 da sostituire nella 17 bis p2)eq.(r,centro in origine): uso la 26 mettendo $r^2$ al posto di $gamma$ p3)eq.(centro,passante per): 21,22 mi danno $alpha,beta$; la 17bis nel punto mi fissa gamma: riscrivo la 17bis con $alpha,beta,gamma$ noti p4)eq.(centro, tg a retta): 21,22 mi danno $alpha,beta$; la 14 mi da r; da r trovo $gamma$; riscrivo il tutto date le eq. trovare centro e raggio: confronto con la 17bis per trovare $alpha,beta,gamma$; tramite 21,22,23 trovo $x_0,y_0,r$ se $rlt0$ non e' una circonferenza p5)eq di circonf. tg a entrambi gli assi: $r=|x_0|=|y_0|$ p6)centro,r (data eq. 'sporca'): $16x^2+16y^2-32x-24y-11=0$ divido tutto per 16 (a dx resta 0) p7)centro su asse y: vuol dire
intersezione retta/circonf. (p8)${(x^2+y^2+alphax+betay+gamma=0),(ax+bx+c=0):}$ risolto da' una eq. di 2° in x o y che a seconda del $Delta$ mi dice se retta esterna,tg,secante; se nella retta o nella circ. c'e' un parametro posso usare il $Delta$ per fissare il parametro stesso
Scrivere l'equazione della circonferenza passante per il punto (2;3)e tangenti agli assi.
Devi trovare tre relazioni che soddisfino il problema, cioè il passaggio per il punto (2,3) la tangenza con l'asse x e la tangenza con l'asse y. L'equazione generica di una circonferenza è: $x²+y²+alphax+betay+gamma=0$
Imponiamo che passi per (2,3) e otteniamo: $13+2alpha+3beta+gamma=0$
Imponiamo che sia tangente all'asse x: ${(x²+y²+alphax+betay+gamma=0),(y=0):} $x²+alphax+gamma=0$ Δ=0 $alpha²-4gamma=0$
Imponiamo che sia tangente all'asse y: ${(x²+y²+alphax+betay+gamma=0),(x=0):} $y²+betay+gamma=0$ Δ=0 $beta²-4gamma=0$
Ora mettiamo a sistema tutte le relazioni trovate. Si otterrà un sistema in 3 incognite: