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geometria2



CONVENZIONI SUI NOMI e TERMINI GENERALI

  1. Punti: A,B,C
  2. Segmenti: a,b,c
  3. Rette r,s,t
  4. Semirette Ar
  5. Angoli: $alpha,beta,gamma,hat(AOB), hat(A)$
  6. Piani $pi$
  7. Archi $stackrel(nn)(AB),stackrel(nn)(APB)$
  8. $cong$ Congruenti: sovrapponibili
  9. $=$ Uguali: sovrapposti
  10. $dot=$ Equivalenti: stessa superficie
  11. nei triangoli nomi dei lati minuscoli di quelli dei vertici opposti ; angoli: greco del vertice
  12. Poligono: la parte di piano costituita da una poligonale chiusa non intrecciata e dai suoi punti interni

    LA GEOMETRIA DEL PIANO (F+32)
    postulati di appartenenza della retta
  13. per due punti qualsiasi del piano passa una e una sola retta: $forall(A,B) in pi EE! r// (A,B) in r $
  14. su una retta ci sono almeno due punti $ r, EEA,EEB,//(A,B)inr$
  15. per ogni retta del piano esiste almeno un punto del piano che non le appartiene $rinpiEEB//Binpinotinr$
    postulati di appartenenza del piano
  16. dati tre punti non allienati esiste ed e' unico un piano che li contiene$ bar(A,B,Cinr)$ $ EE!pi//(A,B,C)inpi$
  17. dati due punti qualsiasi di un piano il segmento che li unisce appartiene al piano$forall (A,B)inpi, ABinpi$
    postulato dell'ordine
  18. La retta e' un insieme ordinato di punti e fra due suoi punti esiste sempre almeno un altro punto
    retta e poligonali

  19. semiretta O U(successivi) oppure O U precedenti
  20. segmento AB:(A$le$punti$le$B)
  21. segm. consecutivi: se hanno in comune soltanto un estremo
  22. segm. adiacenti: se consecutivi e appartengono alla stessa retta
  23. poligonale: insieme di segmenti consecutivi
  24. semipiano: una delle due parti di piano tagliate da una retta
  25. angolo: una delle due parti di piano individuata da due semirette
  26. angoli consecutivi due angoli con in comune un vertice e un lato
  27. angoli adiacenti: consecutivi con lati non in comune su stessa retta (in pratica un angolo piatto)
  28. angolo piatto: i sui lati appartengono alla stessa retta (180°)
  29. angolo giro: coincide con il piano (360°)
  30. figura convessa per due punti qualsiasi la congiungente e' sempre interna
  31. figura concava esistono almeno due punti per i quali la congiungente non e' interna
  32. cerchio tutti i punti interni e compresi nella circonferenza
  33. punto medio del segmento pm(AB) il punto che lo divide in due segmenti congruenti
  34. bisettrice la semiretta che divide l'angolo in due angoli congruenti

  35. $(ABpmCD,CDcongFG)rarr(ABpmCDcongABpmFG)$ assioma di sostituzione (o transititiva'): posso sostituire ad un segmento uno ad esso $cong$
  36. $(ABcongkCD,CDcongFG)rarr(ABcongkFG)$ assioma di sostituzione: posso sostituire ad un segmento uno ad esso $cong$
  37. $ABcongCD,A'B'congC'D' rarr AB+-A'B'congCD+-C'D'$ somme o differenze di segmenti a due a due $cong$ sono a loro volta $cong$
  38. $ABcongCDrarrkABcongkCD$ multipli o sottomultipli di segmenti tra loro $cong$ sono a loro volta $cong$

    I TRIANGOLI (F+74)
    definizioni
  39. bisettrice: divide in due l'angolo al vertice (INCENTRO)
  40. mediana: vertice-pm(lato) (BARICENTRO)
  41. altezza: incontra il lato opposto al vertice (o il suo prolungamento) (ORTOCENTRO) formando due angoli retti
  42. scaleno:un qualsiasi triangolo
  43. isoscele:$harr$ (almeno) 2 lati $cong$ $harr$ 2 angoli $cong$
  44. equilatero:3 lati congruenti $harr$ 3 angoli $cong$
  45. acutangolo: 3 angoli $<90°$
  46. rettangolo: 1 angolo $=90°$
  47. ottusangolo: 1 angolo $>90°$

    criteri di congruenza
  48. 1°criterio:LAL (dim: lo si va' a sovrapporre in quel vertice)
  49. 2°criterio:ALA (dim:A,A' e B,B' si sovrappongono per hp,$1/2$rAC sovrapponibile a $1/2$rA'C' per stesso angolo, idem altro
  50. 3° criterio:LLL (dim: sovrapponibili)
    Disuguaglianze nei triangoli
  51. Ogni angolo esterno $>$ somma degli altri due interni
  52. A lato maggiore si oppone angolo maggiore
  53. Disuguaglianza triangolare: a-b < c < a+b
    teoremi sugli isosceli

  54. $ABC,CAcongBC rarr hat(CAB)conghat(ABC)$ :in un triangolo isoscele gli angoli alla base sono $cong$ dim:si prolungano i lati $cong$ di una quantita' $cong$ etc.. (TEO degli angoli alla base del tr. isosc.)
  55. $ABC,hat(CAB)conghat(ABC) rarr CAcongBC$ : un triangolo con due angoli congruenti e' isoscele (teo inverso)
  56. ABC isosc. $rarr$ bisettrice $-=$ altezza $-=$ mediana
  57. $ABC,CAcongBCcongCA rarr hat(CAB)conghat(ABC)conghat(BCA)$ :in un triangolo equilatero gli angoli sono tutti $cong$
  58. $hat(CAB)conghat(ABC)rarr CAcongBC$ Se in un triangolo due angoli sono $cong$ i lati ad essi opposti sono $cong$

  59. ABC $rarr hat(B_(ext))>hat(A),hat(B_(ext))>hat(C)$ in un triangolo un angolo esterno e' sempre maggiore degli altri due angoli interni
  60. $hat(C_(ext)conghat(A)+hat(B)$teo angolo esterno della somma
  61. $hat(A)+hat(B)+hat(C)=pi$
  62. ABC,BC>AC $rarrhat(A)>hat(B)$ angoli opposti a lati maggiori sono maggiori, quindi ad angolo maggiore sta opposto lato maggiore, e VICEVERSA
  63. corollario all'angolo maggiore: l'ipotenusa del rettangolo e' maggiore dei singoli cateti
  64. ABC $rarr$ AB-BC < AC < AB+BC (ammesso si possa fare AB-BC):DIS. TRIANGOLARE
  65. acutangolo $alpha,beta,gamma$ acuti
  66. rettangolo 1 angolo retto
  67. ottusangolo1 angolo ottuso
  68. $1^o$ crit. $cong$ tr.rett. : due cateti $cong$
  69. $2^o$ crit. $cong$ tr.rett. :un cateto e un acuto $cong$
  70. $3^o$ crit. $cong$ tr.rett. : l'ipotenusa e un acuto $cong$
  71. $4^o$ crit. $cong$ tr.rett. :l'ipotenusa e un cateto $cong$

  72. Angolo interno/esterno(adiacente a quello interno),lato,vertice
  73. assi (CIRCOCENTRO)


    LE RETTE PERPENDICOLARI E LE RETTE PARALLELE (F+119)
  74. perpendicolari/ortogonali se dividono il piano in 4 angoli retti
  75. $_|_(r) per P EE$! la perpendicolare ad una retta passante per un punto esiste ed e' unica
  76. piede della perpendicolare: il punto di intersezione
  77. proiezione di un punto su una retta: il piede della perpend.
  78. proiezione di un segmento su una retta: il segmento tra le proiez. dei due punti
  79. distanza punto-retta: la lunghezza del segmento punto-sua proiezione
  80. rette tagliate da una trasversale:
    $2//1$
    $3//4$

    $6//5$
    $7//8$
  81. alterni interni (4,6) (3,5) dalle parti opposte alla trasversale ma dentro le due rette
  82. alterni interni (1,7) (2,8) ... fuori
  83. corrispondenti (1,5),(2,6),(3,7),(4,8) girando intorno ai rispettivi 'incroci' stanno nello stesso posto
  84. coniugati interni (4,5),(3,6) (dalla stessa parte della trasversale (stesse scelte interna-esterna/sx-dx)
  85. coniugati esterni (1,8),(2,7)
  86. quinto postulato: $EE$! retta parallela a una data e passante per un punto P
  87. r//s $harr$ [alterni interni $cong$]
  88. r//s $harr$ [corrispondenti$cong$]
  89. r//s $harr$ [coniugati supplementari]
  90. poligonale (semplice/intrecciata chiusa/aperta)'':figura formata da segmenti a due a due consecutivi
    parti del piano
  91. $1/2$piano : retta e una delle due regioni in cui divide il piano
    ANGOLI
  92. angolo: ciascuna delle due parti di piano individuate da due $1/2$rette con la stessa origine (vertice e lati dell'angolo)
  93. angolo: parte di piano compresa tra due semirette dette lati
  94. angoli consecutivi: stesso vertice piu' un lato
  95. angoli adiacenti: consecutivi e i lati non comuni appartengono alla stessa retta
  96. angolo piatto ($hat(P)$ o $pi$)'': i suoi lati appartengono alla stessa retta
  97. angolo giro ($hat(G)$ o $2pi$)'': coincide con l'intero piano
  98. angolo retto ($hat(R)$ o $pi/2$)'': meta' dell'angolo piatto
  99. angolo acuto: $< hat(R)$
  100. angolo ottuso: $>hat(R)$
  101. $(hat(A)pmhat(B),hat(B)conghat(C)) rarr (hat(A)pmhat(B)conghat(A)pmhat(C))$ assioma di sostituzione (o transititiva'): posso sostituire ad un angolo uno ad esso $cong$
  102. $(hat(A)congkhat(B),hat(B)conghat(C))rarr(hat(A)congkhat(C))$ assioma di sostituzione: posso sostituire ad un angolo uno ad esso $cong$
  103. $hat(A)conghat(A'),hat(B)conghat(B') rarr hat(A)+-hat(A')conghat(B)+-hat(B')$ somme o differenze di angoli a due a due $cong$ sono a loro volta $cong$
  104. $hat(A)conghat(B)rarrkhat(A)congkhat(B)$ multipli o sottomultipli di angoli tra loro $cong$ sono a loro volta $cong$
  105. complementari: $alpha+beta$=90°=$hat(R)$ o $pi/2$
  106. supplementari:$alpha+beta$=180°=$hat(P)$ o $pi$
  107. esplementari:$alpha+beta$=360°=$hat(G)$ o $2pi$
  108. bisettrice:=la semiretta che divide un angolo in due parti uguali
  109. angoli opposti al vertice (o.a.v.) :$alpha$ e $beta$ sono o.a.v. se hanno in comune il vertice e i loro lati appartengono alle stesse rette
    figure piane
  110. figura concava: esiste un segmento tra due suoi punti che fuoriesce dalla figura
  111. figura convessa: viceversa
  112. figure congruenti: sovrapponibili
  113. figure uguali: gli stessi,identici punti
  114. punto medio:= quello che divide un segmento in due parti uguali



    POLIGONI
  1. poligono: una poligonale chiusa (compresa) e i suoi punti interni
  2. puo' essere concavo o convesso
  3. $hat(A)+hat(B)+hat(C)+hat(D)+hat(E)+...cong (n-2)pi$
  4. $hat(A_e)+hat(B_e)+hat(C_e)+hat(D_e)+hat(E_e)+...cong pi$
  5. regolari:$forall$lati$cong$

    PARALLELOGRAMMI e TRAPEZI
  6. trapezio: quadrilatero con (almeno) due lati paralleli (basi)
  7. trapezio isoscele: lati $cong$
  8. trapezio rettangolo: uno dei lati perp. alla base
  9. rette parallele tagliate da due trasversali: a segmenti $cong$ su una corrispondono segmenti $cong$ sull'altra
  10. segmento tra i punti medi di un triangolo $cong 1/2$ lato rimanente
  11. parallelogramma: quadrilatero con lati opposti paralleli
  12. rettangolo: parallelogramma con angoli $cong$
  13. rombo : parallelogramma con lati $cong$
  14. quadrato: parallelogramma con lati e angoli $cong$
  15. teo:$ABCD,AB$//$CD,BC$//$AD rarr ACDcongABC$ le diagonali del trapezio lo dividono in due triangoli $cong$
  16. teo:$ABCD,AB$//$CD,BC$//$AD rarr ABcongCD ^^ BCcongAD$ i lati opposti del parallelogramma sono $cong$
  17. teo:$ABCD,AB$//$CD,BC$//$AD rarr hat(A)conghat(C) ^^ hat(B)conghat(D)$ gli angoli opposti del parallelogramma sono $cong$
  18. teo:$ABCD,AB$//$CD,BC$//$AD rarr hat(A)+hat(B)=hat(B)+hat(C)=hat(C)+hat(D)=hat(D)+hat(A)=pi$ angoli adiacenti a ogni lato del //gr sono supplementari
  19. diag1$nn$diag2 $-=$ pm(diag1)=pm(diag2)
  20. 4ro + lati opposti $cong rarr$ //gr
  21. angoli opposti $cong rarr$ //gr
  22. //gr,diag1$nn$diag2 $=$ pm $rarr$ //gr
  23. 2 lati opposti sono // e $cong rarr$ //gr
    RETTANGOLO
  24. ABCD //gr + AC$cong$BD $rarr$ ABCD e' un rett.


    CIRCONFERENZA
  25. circonferenze $gamma,gamma(O),gamma(O,r)$
  26. per tre punti non allieneati passa una e una sola $gamma$
  27. Corda $AB//(A,B)ingamma$
  28. Diametro $AB//(A,B)ingamma(O),OinAB$
    efinizioni
  29. $gamma$(O,r)$:={forall(A):d(A,O}=r}$
  30. cerchio(O,r)$:={forall(A):d(A,O}ler}$
  31. asse(A,B)$:={forall(P):d(P,A}=d(P,B) }$
  32. segmento circolare: una delle due mezze lune ottenute tagliando un cerchio con una forbici
  33. segmento circolare a due baso: la parte interna di un cerchio tagliato lungo due corde parallele
  34. arco: parte di circonferenza compresa tra due punti $A,Bingamma$ si indica $stackrel(^^)(AB)$ oppure $stackrel(^^)(APB)$
  35. settore circolare:fetta di torta compresi lati e circonferenza
  36. angolo al centro $hat(AOB),(A,B)ingamma$
  37. angolo alla $gamma$ $hat(AVB),(A,V,B)ingamma$
  38. angoli al centro e alla $gamma$ corrispondenti se insistono sullo stesso arco
  39. teo: angoli corrispondenti nella circonferenza sono $hat(V)=(1/2)hat(O)$ dim si parte da V su OB e altri due casi con A,B dallo stesso lato oppure da lati opposti ad OB
  40. $forall c < d $ dim: si usa la dis. triangolare
  41. $(d _|_ c) cap c -= $pm(c) il diametro perp. alla corda ne stacca il pm. dim: altezza negli isosceli
  42. $c_1 cong c_2 lrarr d(c_1,O)=d(c_2,O) $ corde $cong$ sono equidistanti dal centro e viceversa dim: cateto e ipotenusa nei rettangoli (quarto)
  43. $r$ esterna $gamma harr rcapgamma=O/$
  44. $r$ tg $gamma harr rcapgamma={A}$
  45. $r$ sec $gamma harr rcapgamma={A,B},AneB$
  46. angoli al centro e angoli alla circonferenza sono corrispondenti se insistono sullo stesso arco
  47. le due tangenti per un punto ad una circonferenza staccano segmenti $cong$
    quadrilateri inscritti e circoscritti
  48. ABCD.. inscritto $hArr$ angoli opposti supplementari
  49. ABCD.. inscritto $hArr cap Assi = {O}$
  50. apotema: $r$ di $gamma$ inscritta in ABCD cioe' d(lato,centro)
    Figure equivalenti
  51. A=B o A$-=$B se sono perfettamente sovrapposte
  52. A$cong$B se sono sovrapponibili
  53. A$stackrel(.)=$B se hanno la stessa superficie
  54. $cong rarr stackrel(.)=$
  55. $stackrel(.)=$ e una relaz. di equivalenza:R,S,T
  56. Riflessiva: $Astackrel(.)=A$
  57. Simmetrica: $Astackrel(.)=B rarr Bstackrel(.)=A$
  58. Transitiva: $Astackrel(.)=B,Bstackrel(.)=C rarr Astackrel(.)=C$
  59. Commutativa: $A+Bstackrel(.)=B+A$
  60. Associativa: $(A+B)+Cstackrel(.)=A+(B+C)$
  61. $Somma$ di superfici definita solo se hanno al massimo il contorno in comune
  62. Differenza $A-B=C harr B+C=A $
  63. $(Adot=B,Bdot=C) rarr(Adot=C)$ assioma di sostituzione (o transititiva'): posso sostituire ad un angolo uno ad esso $cong$
  64. $(Adot=kB,Bdot=C) rarr(Adot=kC)$ assioma di sostituzione: posso sostituire ad un angolo uno ad esso $cong$
  65. $Astackrel(.)=A',Bstackrel(.)=B',AcapB=A'capB'=O/ rarr A+-Bstackrel(.)=A'+-B'$ somme o differenze di figure a due a due $stackrel(.)=$ sono a loro volta $stackrel(.)=$
  66. $Adot=BrarrkAdot=kB$ multipli o sottomultipli di figure tra loro $dot=$ sono a loro volta $dot=$
  67. $Astackrel(.)=A',Bstackrel(.)=B' rarr (A+-B)stackrel(.)=(A'+B')$ qua
  68. $Astackrel(.)=C,Bstackrel(.)=D rarr (A-B)stackrel(.)=(C-D)$
  69. $AcongA',BcongB' rarr (A+-B)cong(A'+-B')$ qui!
  70. $AcongC,BcongD rarr (A-B)cong(C-D)$
  71. $A non stackrel(.)= (BsubA)$ una figura non puo' essere equivalente ad una sua parte
  72. A,B equiscomponibili se somma di figure ordinatamente $cong$
  73. equiscomponibili $rarr cong$
  74. AB//CD,BC//DA,
    DH $_|_$AB
    A'B'//C'D',B'C'//D'A'
    D'H' $_|_$A'B'
    AB$cong$A'B'
    DH$cong$D'H'
    		$rarr$
    		$ABCDstackrel(.)=A'B'C'D'$
    		Due parallelogrammi con basi e altezze $cong$ sono $stackrel(.)=$

  75. AB//CD,BC//DA,
    DH $_|_$AB
    A'B'//C'D',B'C'//D'A'
    D'H' $_|_$A'B'
    AB$cong$A'B'
    $ABCDstackrel(.)=A'B'C'D'$
    		$rarr$
    		DH$cong$D'H'
    		Due parallelogrammi $stackrel(.)=$ con basi $cong$ hanno altezze $cong$

  76. AB//CD,BC//DA,
    DH $_|_$AB
    A'B'//C'D',B'C'//D'A'
    D'H' $_|_$A'B'
    DH$cong$D'H'
    $ABCDstackrel(.)=A'B'C'D'$
    		$rarr$
    		AB$cong$A'B'
    		Due parallelogrammi $stackrel(.)=$ con altezze $cong$ hanno basi $cong$

  77. ABC,$hat(A)=pi/2$,$q(c_1)dot=r(p_1,i)$ Euclide 1: in un tr.rett. il quadrato costruito su un cateto equivale al rettangolo costruito sulla ipotenusa e sulla proiez. del cateto sull'ipotenusa
  78. ABC,$hat(A)=pi/2$,$q(i)dot=q(c_1)+q(c_2)$ Pitagora: in un tr.rett. il quadrato costruito sull'ipotenusa equivale alla somma dei quadrati costruiti sui cateti
  79. ABC,$hat(A)=pi/2$,$h^2dot=p_1i-p_1^2=p_1(i-p_1)=p_1p_2$ Euclide 2: in un tr.rett. il quadrato costruito sull'altezza equivale al rettangolo costruito sulle proiezioni dei cateti
  80. teo dei triangoli sul parallelismo ai lati dei segmenti tra punti medi: (pag f+155)





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