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geometryCheatSheet

1. Points: A,B,C
2. Segments: a,b,c
3. Lines r,s,t
4. Semilines Ar
5. Angles: $alpha,beta,gamma,hat(AOB), hat(A)$
6. Planes $pi$
7. Arcs $stackrel(nn)(AB),stackrel(nn)(APB)$

Plane postulates
8. $forall(A,B)in pi EE! r// (A,B) in r $ through 2 points in a plane passes one and only one line
9. $ r, EEA,EEB,//(A,B)inr$ on a line there are at least 2 points
10. $rinpiEEB//Binpinotinr$ for every line in a plane there is at least a point in the plane that doesn't is on the line
11. $ bar(A,B,Cinr)$ $ EE!pi//(A,B,C)inpi$ by three points in a plane not on a line passes one only plane
12. $forall (A,B)inpi, ABinpi$ dati due punti qualsiasi di un piano il segmento che li unisce appartiene al piano
13. La retta e' un insieme ordinato di punti e fra due suoi punti esiste sempre almeno un altro punto

SEGMENTI,RETTA E POLIGONALI

$(ABpmCD,CDcongFG)rarr(ABpmCDcongABpmFG)$ assioma di sostituzione (o transititiva'): posso sostituire ad un segmento uno ad esso $cong$

$(ABcongkCD,CDcongFG)rarr(ABcongkFG)$ assioma di sostituzione: posso sostituire ad un segmento uno ad esso $cong$

$ABcongCD,A'B'congC'D' rarr AB+-A'B'congCD+-C'D'$ somme o differenze di segmenti a due a due $cong$ sono a loro volta $cong$

$ABcongCDrarrkABcongkCD$ multipli o sottomultipli di segmenti tra loro $cong$ sono a loro volta $cong$

semiretta O U(successivi) oppure O U precedenti

segmento AB:(A$le$punti$le$B)

segm. consecutivi: se hanno in comune soltanto un estremo

segm. adiacenti: se consecutivi e appartengono alla stessa retta

punto medio del segmento pm(AB) il punto che lo divide in due segmenti congruenti

perpendicolari/ortogonali se dividono il piano in 4 angoli retti

$_|_(r) per P EE$! la perpendicolare ad una retta passante per un punto esiste ed e' unica

piede della perpendicolare: il punto di intersezione

proiezione di un punto su una retta: il piede della perpend.

proiezione di un segmento su una retta: il segmento tra le proiez. dei due punti

distanza punto-retta: la lunghezza del segmento punto-sua proiezione

rette tagliate da una trasversale:
$2//1$
$3//4$

$6//5$
$7//8$

alterni interni (4,6) (3,5) dalle parti opposte alla trasversale ma dentro le due rette

alterni interni (1,7) (2,8) ... fuori

corrispondenti (1,5),(2,6),(3,7),(4,8) girando intorno ai rispettivi 'incroci' stanno nello stesso posto

coniugati interni (4,5),(3,6) (dalla stessa parte della trasversale (stesse scelte interna-esterna/sx-dx)

coniugati esterni (1,8),(2,7)

quinto postulato: $EE$! retta parallela a una data e passante per un punto P

r//s $harr$ [alterni interni $cong$]

r//s $harr$ [corrispondenti$cong$]

r//s $harr$ [coniugati supplementari]

poligonale (semplice/intrecciata chiusa/aperta)'':figura formata da segmenti a due a due consecutivi
parti del piano

$1/2$piano : retta e una delle due regioni in cui divide il piano
ANGOLI

angolo: ciascuna delle due parti di piano individuate da due $1/2$rette con la stessa origine (vertice e lati dell'angolo)

angolo: parte di piano compresa tra due semirette dette lati

angoli consecutivi: stesso vertice piu' un lato

angoli adiacenti: consecutivi e i lati non comuni appartengono alla stessa retta

angolo piatto ($hat(P)$ o $pi$)'': i suoi lati appartengono alla stessa retta

angolo giro ($hat(G)$ o $2pi$)'': coincide con l'intero piano

angolo retto ($hat(R)$ o $pi/2$)'': meta' dell'angolo piatto

angolo acuto: $< hat(R)$

angolo ottuso: $>hat(R)$

$(hat(A)pmhat(B),hat(B)conghat(C)) rarr (hat(A)pmhat(B)conghat(A)pmhat(C))$ assioma di sostituzione (o transititiva'): posso sostituire ad un angolo uno ad esso $cong$

$(hat(A)congkhat(B),hat(B)conghat(C))rarr(hat(A)congkhat(C))$ assioma di sostituzione: posso sostituire ad un angolo uno ad esso $cong$

$hat(A)conghat(A'),hat(B)conghat(B') rarr hat(A)+-hat(A')conghat(B)+-hat(B')$ somme o differenze di angoli a due a due $cong$ sono a loro volta $cong$

$hat(A)conghat(B)rarrkhat(A)congkhat(B)$ multipli o sottomultipli di angoli tra loro $cong$ sono a loro volta $cong$

complementari: $alpha+beta$=90°=$hat(R)$ o $pi/2$

supplementari:$alpha+beta$=180°=$hat(P)$ o $pi$

esplementari:$alpha+beta$=360°=$hat(G)$ o $2pi$

bisettrice:=la semiretta che divide un angolo in due parti uguali

angoli opposti al vertice (o.a.v.) :$alpha$ e $beta$ sono o.a.v. se hanno in comune il vertice e i loro lati appartengono alle stesse rette
figure piane

figura concava: esiste un segmento tra due suoi punti che fuoriesce dalla figura

figura convessa: viceversa

figure congruenti: sovrapponibili

figure uguali: gli stessi,identici punti

punto medio:= quello che divide un segmento in due parti uguali
TRIANGOLI

Angolo interno/esterno(adiacente a quello interno),lato,vertice

assi (CIRCOCENTRO)

bisettrice: divide in due l'angolo al vertice (INCENTRO)

mediana: vertice-pm(lato) (BARICENTRO)

altezza: incontra il lato opposto al vertice (o il suo prolungamento) (ORTOCENTRO) formando due angoli retti

equilatero:tre lati congruenti

1°criterio:LAL (dim: lo si va' a sovrapporre in quel vertice)

2°criterio:ALA (dim:A,A' e B,B' si sovrappongono per hp,$1/2$rAC sovrapponibile a $1/2$rA'C' per stesso angolo, idem altro

3° criterio:LLL

isoscele:almeno due lati congruenti

$ABC,CAcongBC rarr hat(CAB)conghat(ABC)$ :in un triangolo isoscele gli angoli alla base sono $cong$ dim:si prolungano i lati $cong$ di una quantita' $cong$ etc.. (TEO degli angoli alla base del tr. isosc.)

$ABC,hat(CAB)conghat(ABC) rarr CAcongBC$ : un triangolo con due angoli congruenti e' isoscele (teo inverso)

ABC isosc. $rarr$ bisettrice $-=$ altezza $-=$ mediana

scaleno:un qualsiasi triangolo

$ABC,CAcongBCcongCA rarr hat(CAB)conghat(ABC)conghat(BCA)$ :in un triangolo equilatero gli angoli sono tutti $cong$

$hat(CAB)conghat(ABC)rarr CAcongBC$ Se in un triangolo due angoli sono $cong$ i lati ad essi opposti sono $cong$

ABC $rarr hat(B_(ext))>hat(A),hat(B_(ext))>hat(C)$ in un triangolo un angolo esterno e' sempre maggiore degli altri due angoli interni

$hat(C_(ext)conghat(A)+hat(B)$teo angolo esterno della somma

$hat(A)+hat(B)+hat(C)=pi$

ABC,BC>AC $rarrhat(A)>hat(B)$ angoli opposti a lati maggiori sono maggiori, quindi ad angolo maggiore sta opposto lato maggiore, e VICEVERSA

corollario all'angolo maggiore: l'ipotenusa del rettangolo e' maggiore dei singoli cateti

ABC $rarr$ AB-BC < AC < AB+BC (ammesso si possa fare AB-BC):DIS. TRIANGOLARE

acutangolo $alpha,beta,gamma$ acuti

rettangolo 1 angolo retto

ottusangolo1 angolo ottuso

$1^o$ crit. $cong$ tr.rett. : due cateti $cong$

$2^o$ crit. $cong$ tr.rett. :un cateto e un acuto $cong$

$3^o$ crit. $cong$ tr.rett. : l'ipotenusa e un acuto $cong$

$4^o$ crit. $cong$ tr.rett. :l'ipotenusa e un cateto $cong$
POLIGONI

poligono: una poligonale chiusa (compresa) e i suoi punti interni

puo' essere concavo o convesso

$hat(A)+hat(B)+hat(C)+hat(D)+hat(E)+...cong (n-2)pi$

$hat(A_e)+hat(B_e)+hat(C_e)+hat(D_e)+hat(E_e)+...cong pi$

regolari:$forall$lati$cong$

PARALLELOGRAMMI e TRAPEZI

trapezio: quadrilatero con (almeno) due lati paralleli (basi)

trapezio isoscele: lati $cong$

trapezio rettangolo: uno dei lati perp. alla base

rette parallele tagliate da due trasversali: a segmenti $cong$ su una corrispondono segmenti $cong$ sull'altra

segmento tra i punti medi di un triangolo $cong 1/2$ lato rimanente

parallelogramma: quadrilatero con lati opposti paralleli

rettangolo: parallelogramma con angoli $cong$

rombo : parallelogramma con lati $cong$

quadrato: parallelogramma con lati e angoli $cong$

teo:$ABCD,AB$//$CD,BC$//$AD rarr ACDcongABC$ le diagonali del trapezio lo dividono in due triangoli $cong$

teo:$ABCD,AB$//$CD,BC$//$AD rarr ABcongCD ^^ BCcongAD$ i lati opposti del parallelogramma sono $cong$

teo:$ABCD,AB$//$CD,BC$//$AD rarr hat(A)conghat(C) ^^ hat(B)conghat(D)$ gli angoli opposti del parallelogramma sono $cong$

teo:$ABCD,AB$//$CD,BC$//$AD rarr hat(A)+hat(B)=hat(B)+hat(C)=hat(C)+hat(D)=hat(D)+hat(A)=pi$ angoli adiacenti a ogni lato del //gr sono supplementari

diag1$nn$diag2 $-=$ pm(diag1)=pm(diag2)

4ro + lati opposti $cong rarr$ //gr

angoli opposti $cong rarr$ //gr

//gr,diag1$nn$diag2 $=$ pm $rarr$ //gr

2 lati opposti sono // e $cong rarr$ //gr
RETTANGOLO

ABCD //gr + AC$cong$BD $rarr$ ABCD e' un rett.

CIRCONFERENZA

circonferenze $gamma,gamma(O),gamma(O,r)$

per tre punti non allieneati passa una e una sola $gamma$

Corda $AB//(A,B)ingamma$

Diametro $AB//(A,B)ingamma(O),OinAB$
efinizioni

$gamma$(O,r)$:={forall(A):d(A,O}=r}$

cerchio(O,r)$:={forall(A):d(A,O}ler}$

asse(A,B)$:={forall(P):d(P,A}=d(P,B) }$

segmento circolare: una delle due mezze lune ottenute tagliando un cerchio con una forbici

segmento circolare a due baso: la parte interna di un cerchio tagliato lungo due corde parallele

arco: parte di circonferenza compresa tra due punti $A,Bingamma$ si indica $stackrel(^^)(AB)$ oppure $stackrel(^^)(APB)$

settore circolare:fetta di torta compresi lati e circonferenza

angolo al centro $hat(AOB),(A,B)ingamma$

angolo alla $gamma$ $hat(AVB),(A,V,B)ingamma$

angoli al centro e alla $gamma$ corrispondenti se insistono sullo stesso arco

teo: angoli corrispondenti nella circonferenza sono $hat(V)=(1/2)hat(O)$ dim si parte da V su OB e altri due casi con A,B dallo stesso lato oppure da lati opposti ad OB

$forall c < d $ dim: si usa la dis. triangolare

$(d _|_ c) cap c -= $pm(c) il diametro perp. alla corda ne stacca il pm. dim: altezza negli isosceli

$c_1 cong c_2 lrarr d(c_1,O)=d(c_2,O) $ corde $cong$ sono equidistanti dal centro e viceversa dim: cateto e ipotenusa nei rettangoli (quarto)

$r$ esterna $gamma harr rcapgamma=O/$

$r$ tg $gamma harr rcapgamma={A}$

$r$ sec $gamma harr rcapgamma={A,B},AneB$

angoli al centro e angoli alla circonferenza sono corrispondenti se insistono sullo stesso arco

le due tangenti per un punto ad una circonferenza staccano segmenti $cong$
quadrilateri inscritti e circoscritti

ABCD.. inscritto $hArr$ angoli opposti supplementari

ABCD.. inscritto $hArr cap Assi = {O}$

apotema: $r$ di $gamma$ inscritta in ABCD cioe' d(lato,centro)
Figure equivalenti

A=B o A$-=$B se sono perfettamente sovrapposte

A$cong$B se sono sovrapponibili

A$stackrel(.)=$B se hanno la stessa superficie

$cong rarr stackrel(.)=$

$stackrel(.)=$ e una relaz. di equivalenza:R,S,T

Riflessiva: $Astackrel(.)=A$

Simmetrica: $Astackrel(.)=B rarr Bstackrel(.)=A$

Transitiva: $Astackrel(.)=B,Bstackrel(.)=C rarr Astackrel(.)=C$

Commutativa: $A+Bstackrel(.)=B+A$

Associativa: $(A+B)+Cstackrel(.)=A+(B+C)$

$Somma$ di superfici definita solo se hanno al massimo il contorno in comune

Differenza $A-B=C harr B+C=A $

$(Adot=B,Bdot=C) rarr(Adot=C)$ assioma di sostituzione (o transititiva'): posso sostituire ad un angolo uno ad esso $cong$

$(Adot=kB,Bdot=C) rarr(Adot=kC)$ assioma di sostituzione: posso sostituire ad un angolo uno ad esso $cong$

$Astackrel(.)=A',Bstackrel(.)=B',AcapB=A'capB'=O/ rarr A+-Bstackrel(.)=A'+-B'$ somme o differenze di figure a due a due $stackrel(.)=$ sono a loro volta $stackrel(.)=$

$Adot=BrarrkAdot=kB$ multipli o sottomultipli di figure tra loro $dot=$ sono a loro volta $dot=$

$Astackrel(.)=C,Bstackrel(.)=D rarr (A+B)stackrel(.)=(C+D)$

$Astackrel(.)=C,Bstackrel(.)=D rarr (A-B)stackrel(.)=(C-D)$

$AcongC,BcongD rarr (A+B)cong(C+D)$

$AcongC,BcongD rarr (A-B)cong(C-D)$

$A non stackrel(.)= (BsubA)$ una figura non puo' essere equivalente ad una sua parte

A,B equiscomponibili se somma di figure ordinatamente $cong$

equiscomponibili $rarr cong$

AB//CD,BC//DA,
DH $_|_$AB
A'B'//C'D',B'C'//D'A'
D'H' $_|_$A'B'
AB$cong$A'B'
DH$cong$D'H'

$rarr$

$ABCDstackrel(.)=A'B'C'D'$

Due parallelogrammi con basi e altezze $cong$ sono $stackrel(.)=$

AB//CD,BC//DA,
DH $_|_$AB
A'B'//C'D',B'C'//D'A'
D'H' $_|_$A'B'
AB$cong$A'B'
$ABCDstackrel(.)=A'B'C'D'$

$rarr$

DH$cong$D'H'

Due parallelogrammi $stackrel(.)=$ con basi $cong$ hanno altezze $cong$

AB//CD,BC//DA,
DH $_|_$AB
A'B'//C'D',B'C'//D'A'
D'H' $_|_$A'B'
DH$cong$D'H'
$ABCDstackrel(.)=A'B'C'D'$

$rarr$

AB$cong$A'B'

Due parallelogrammi $stackrel(.)=$ con altezze $cong$ hanno basi $cong$

ABC,$hat(A)=pi/2$,$q(c_1)dot=r(p_1,i)$ Euclide 1: in un tr.rett. il quadrato costruito su un cateto equivale al rettangolo costruito sulla ipotenusa e sulla proiez. del cateto sull'ipotenusa

ABC,$hat(A)=pi/2$,$q(i)dot=q(c_1)+q(c_2)$ Pitagora: in un tr.rett. il quadrato costruito sull'ipotenusa equivale alla somma dei quadrati costruiti sui cateti

ABC,$hat(A)=pi/2$,$q(h)dot=r(c_1,c_2)$ Euclide 2: in un tr.rett. il quadrato costruito sull'altezza equivale al rettangolo costruito sulle proiezioni dei cateti

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