CONVENZIONI SUI NOMI e TERMINI GENERALI
- Punti: A,B,C
- Segmenti: a,b,c
- Rette r,s,t
- Semirette Ar
- Angoli: $alpha,beta,gamma,hat(AOB), hat(A)$
- Piani $pi$
- Archi $stackrel(nn)(AB),stackrel(nn)(APB)$
- $cong$ Congruenti: sovrapponibili
- $=$ Uguali: sovrapposti
- $dot=$ Equivalenti: stessa superficie
- nei triangoli nomi dei lati minuscoli di quelli dei vertici opposti ; angoli: greco del vertice
- Poligono: la parte di piano costituita da una poligonale chiusa non intrecciata e dai suoi punti interni
LA GEOMETRIA DEL PIANO (F+32) postulati di appartenenza della retta
- per due punti qualsiasi del piano passa una e una sola retta: $forall(A,B) in pi EE! r// (A,B) in r $
- su una retta ci sono almeno due punti $ r, EEA,EEB,//(A,B)inr$
- per ogni retta del piano esiste almeno un punto del piano che non le appartiene $rinpiEEB//Binpinotinr$
postulati di appartenenza del piano
- dati tre punti non allienati esiste ed e' unico un piano che li contiene$ bar(A,B,Cinr)$ $ EE!pi//(A,B,C)inpi$
- dati due punti qualsiasi di un piano il segmento che li unisce appartiene al piano$forall (A,B)inpi, ABinpi$
postulato dell'ordine
- La retta e' un insieme ordinato di punti e fra due suoi punti esiste sempre almeno un altro punto
retta e poligonali
- semiretta O U(successivi) oppure O U precedenti
- segmento AB:(A$le$punti$le$B)
- segm. consecutivi: se hanno in comune soltanto un estremo
- segm. adiacenti: se consecutivi e appartengono alla stessa retta
- poligonale: insieme di segmenti consecutivi
- semipiano: una delle due parti di piano tagliate da una retta
- angolo: una delle due parti di piano individuata da due semirette
- angoli consecutivi due angoli con in comune un vertice e un lato
- angoli adiacenti: consecutivi con lati non in comune su stessa retta (in pratica un angolo piatto)
- angolo piatto: i sui lati appartengono alla stessa retta (180°)
- angolo giro: coincide con il piano (360°)
- figura convessa per due punti qualsiasi la congiungente e' sempre interna
- figura concava esistono almeno due punti per i quali la congiungente non e' interna
- cerchio tutti i punti interni e compresi nella circonferenza
- punto medio del segmento pm(AB) il punto che lo divide in due segmenti congruenti
- bisettrice la semiretta che divide l'angolo in due angoli congruenti
- $(ABpmCD,CDcongFG)rarr(ABpmCDcongABpmFG)$ assioma di sostituzione (o transititiva'): posso sostituire ad un segmento uno ad esso $cong$
- $(ABcongkCD,CDcongFG)rarr(ABcongkFG)$ assioma di sostituzione: posso sostituire ad un segmento uno ad esso $cong$
- $ABcongCD,A'B'congC'D' rarr AB+-A'B'congCD+-C'D'$ somme o differenze di segmenti a due a due $cong$ sono a loro volta $cong$
- $ABcongCDrarrkABcongkCD$ multipli o sottomultipli di segmenti tra loro $cong$ sono a loro volta $cong$
I TRIANGOLI (F+74) definizioni
- bisettrice: divide in due l'angolo al vertice (INCENTRO)
- mediana: vertice-pm(lato) (BARICENTRO)
- altezza: incontra il lato opposto al vertice (o il suo prolungamento) (ORTOCENTRO) formando due angoli retti
- scaleno:un qualsiasi triangolo
- isoscele:$harr$ (almeno) 2 lati $cong$ $harr$ 2 angoli $cong$
- equilatero:3 lati congruenti $harr$ 3 angoli $cong$
- acutangolo: 3 angoli $<90°$
- rettangolo: 1 angolo $=90°$
- ottusangolo: 1 angolo $>90°$
criteri di congruenza
- 1°criterio:LAL (dim: lo si va' a sovrapporre in quel vertice)
- 2°criterio:ALA (dim:A,A' e B,B' si sovrappongono per hp,$1/2$rAC sovrapponibile a $1/2$rA'C' per stesso angolo, idem altro
- 3° criterio:LLL (dim: sovrapponibili)
Disuguaglianze nei triangoli
- Ogni angolo esterno $>$ somma degli altri due interni
- A lato maggiore si oppone angolo maggiore
- Disuguaglianza triangolare: a-b < c < a+b
teoremi sugli isosceli
- $ABC,CAcongBC rarr hat(CAB)conghat(ABC)$ :in un triangolo isoscele gli angoli alla base sono $cong$ dim:si prolungano i lati $cong$ di una quantita' $cong$ etc.. (TEO degli angoli alla base del tr. isosc.)
- $ABC,hat(CAB)conghat(ABC) rarr CAcongBC$ : un triangolo con due angoli congruenti e' isoscele (teo inverso)
- ABC isosc. $rarr$ bisettrice $-=$ altezza $-=$ mediana
- $ABC,CAcongBCcongCA rarr hat(CAB)conghat(ABC)conghat(BCA)$ :in un triangolo equilatero gli angoli sono tutti $cong$
- $hat(CAB)conghat(ABC)rarr CAcongBC$ Se in un triangolo due angoli sono $cong$ i lati ad essi opposti sono $cong$
- ABC $rarr hat(B_(ext))>hat(A),hat(B_(ext))>hat(C)$ in un triangolo un angolo esterno e' sempre maggiore degli altri due angoli interni
- $hat(C_(ext)conghat(A)+hat(B)$teo angolo esterno della somma
- $hat(A)+hat(B)+hat(C)=pi$
- ABC,BC>AC $rarrhat(A)>hat(B)$ angoli opposti a lati maggiori sono maggiori, quindi ad angolo maggiore sta opposto lato maggiore, e VICEVERSA
- corollario all'angolo maggiore: l'ipotenusa del rettangolo e' maggiore dei singoli cateti
- ABC $rarr$ AB-BC < AC < AB+BC (ammesso si possa fare AB-BC):DIS. TRIANGOLARE
- acutangolo $alpha,beta,gamma$ acuti
- rettangolo 1 angolo retto
- ottusangolo1 angolo ottuso
- $1^o$ crit. $cong$ tr.rett. : due cateti $cong$
- $2^o$ crit. $cong$ tr.rett. :un cateto e un acuto $cong$
- $3^o$ crit. $cong$ tr.rett. : l'ipotenusa e un acuto $cong$
- $4^o$ crit. $cong$ tr.rett. :l'ipotenusa e un cateto $cong$
- Angolo interno/esterno(adiacente a quello interno),lato,vertice
- assi (CIRCOCENTRO)
LE RETTE PERPENDICOLARI E LE RETTE PARALLELE (F+119)
- perpendicolari/ortogonali se dividono il piano in 4 angoli retti
- $_|_(r) per P EE$! la perpendicolare ad una retta passante per un punto esiste ed e' unica
- piede della perpendicolare: il punto di intersezione
- proiezione di un punto su una retta: il piede della perpend.
- proiezione di un segmento su una retta: il segmento tra le proiez. dei due punti
- distanza punto-retta: la lunghezza del segmento punto-sua proiezione
- rette tagliate da una trasversale:
$2//1$ $3//4$ $6//5$ $7//8$
- alterni interni (4,6) (3,5) dalle parti opposte alla trasversale ma dentro le due rette
- alterni interni (1,7) (2,8) ... fuori
- corrispondenti (1,5),(2,6),(3,7),(4,8) girando intorno ai rispettivi 'incroci' stanno nello stesso posto
- coniugati interni (4,5),(3,6) (dalla stessa parte della trasversale (stesse scelte interna-esterna/sx-dx)
- coniugati esterni (1,8),(2,7)
- quinto postulato: $EE$! retta parallela a una data e passante per un punto P
- r//s $harr$ [alterni interni $cong$]
- r//s $harr$ [corrispondenti$cong$]
- r//s $harr$ [coniugati supplementari]
- poligonale (semplice/intrecciata chiusa/aperta)'':figura formata da segmenti a due a due consecutivi
parti del piano
- $1/2$piano : retta e una delle due regioni in cui divide il piano
ANGOLI
- angolo: ciascuna delle due parti di piano individuate da due $1/2$rette con la stessa origine (vertice e lati dell'angolo)
- angolo: parte di piano compresa tra due semirette dette lati
- angoli consecutivi: stesso vertice piu' un lato
- angoli adiacenti: consecutivi e i lati non comuni appartengono alla stessa retta
- angolo piatto ($hat(P)$ o $pi$)'': i suoi lati appartengono alla stessa retta
- angolo giro ($hat(G)$ o $2pi$)'': coincide con l'intero piano
- angolo retto ($hat(R)$ o $pi/2$)'': meta' dell'angolo piatto
- angolo acuto: $< hat(R)$
- angolo ottuso: $>hat(R)$
- $(hat(A)pmhat(B),hat(B)conghat(C)) rarr (hat(A)pmhat(B)conghat(A)pmhat(C))$ assioma di sostituzione (o transititiva'): posso sostituire ad un angolo uno ad esso $cong$
- $(hat(A)congkhat(B),hat(B)conghat(C))rarr(hat(A)congkhat(C))$ assioma di sostituzione: posso sostituire ad un angolo uno ad esso $cong$
- $hat(A)conghat(A'),hat(B)conghat(B') rarr hat(A)+-hat(A')conghat(B)+-hat(B')$ somme o differenze di angoli a due a due $cong$ sono a loro volta $cong$
- $hat(A)conghat(B)rarrkhat(A)congkhat(B)$ multipli o sottomultipli di angoli tra loro $cong$ sono a loro volta $cong$
- complementari: $alpha+beta$=90°=$hat(R)$ o $pi/2$
- supplementari:$alpha+beta$=180°=$hat(P)$ o $pi$
- esplementari:$alpha+beta$=360°=$hat(G)$ o $2pi$
- bisettrice:=la semiretta che divide un angolo in due parti uguali
- angoli opposti al vertice (o.a.v.) :$alpha$ e $beta$ sono o.a.v. se hanno in comune il vertice e i loro lati appartengono alle stesse rette
figure piane
- figura concava: esiste un segmento tra due suoi punti che fuoriesce dalla figura
- figura convessa: viceversa
- figure congruenti: sovrapponibili
- figure uguali: gli stessi,identici punti
- punto medio:= quello che divide un segmento in due parti uguali
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POLIGONI
- poligono: una poligonale chiusa (compresa) e i suoi punti interni
- puo' essere concavo o convesso
- $hat(A)+hat(B)+hat(C)+hat(D)+hat(E)+...cong (n-2)pi$
- $hat(A_e)+hat(B_e)+hat(C_e)+hat(D_e)+hat(E_e)+...cong pi$
- regolari:$forall$lati$cong$
PARALLELOGRAMMI e TRAPEZI
- trapezio: quadrilatero con (almeno) due lati paralleli (basi)
- trapezio isoscele: lati $cong$
- trapezio rettangolo: uno dei lati perp. alla base
- rette parallele tagliate da due trasversali: a segmenti $cong$ su una corrispondono segmenti $cong$ sull'altra
- segmento tra i punti medi di un triangolo $cong 1/2$ lato rimanente
- parallelogramma: quadrilatero con lati opposti paralleli
- rettangolo: parallelogramma con angoli $cong$
- rombo : parallelogramma con lati $cong$
- quadrato: parallelogramma con lati e angoli $cong$
- teo:$ABCD,AB$//$CD,BC$//$AD rarr ACDcongABC$ le diagonali del trapezio lo dividono in due triangoli $cong$
- teo:$ABCD,AB$//$CD,BC$//$AD rarr ABcongCD ^^ BCcongAD$ i lati opposti del parallelogramma sono $cong$
- teo:$ABCD,AB$//$CD,BC$//$AD rarr hat(A)conghat(C) ^^ hat(B)conghat(D)$ gli angoli opposti del parallelogramma sono $cong$
- teo:$ABCD,AB$//$CD,BC$//$AD rarr hat(A)+hat(B)=hat(B)+hat(C)=hat(C)+hat(D)=hat(D)+hat(A)=pi$ angoli adiacenti a ogni lato del //gr sono supplementari
- diag1$nn$diag2 $-=$ pm(diag1)=pm(diag2)
- 4ro + lati opposti $cong rarr$ //gr
- angoli opposti $cong rarr$ //gr
- //gr,diag1$nn$diag2 $=$ pm $rarr$ //gr
- 2 lati opposti sono // e $cong rarr$ //gr
RETTANGOLO
- ABCD //gr + AC$cong$BD $rarr$ ABCD e' un rett.
CIRCONFERENZA
- circonferenze $gamma,gamma(O),gamma(O,r)$
- per tre punti non allieneati passa una e una sola $gamma$
- Corda $AB//(A,B)ingamma$
- Diametro $AB//(A,B)ingamma(O),OinAB$
efinizioni
- $gamma$(O,r)$:={forall(A):d(A,O}=r}$
- cerchio(O,r)$:={forall(A):d(A,O}ler}$
- asse(A,B)$:={forall(P):d(P,A}=d(P,B) }$
- segmento circolare: una delle due mezze lune ottenute tagliando un cerchio con una forbici
- segmento circolare a due baso: la parte interna di un cerchio tagliato lungo due corde parallele
- arco: parte di circonferenza compresa tra due punti $A,Bingamma$ si indica $stackrel(^^)(AB)$ oppure $stackrel(^^)(APB)$
- settore circolare:fetta di torta compresi lati e circonferenza
- angolo al centro $hat(AOB),(A,B)ingamma$
- angolo alla $gamma$ $hat(AVB),(A,V,B)ingamma$
- angoli al centro e alla $gamma$ corrispondenti se insistono sullo stesso arco
- teo: angoli corrispondenti nella circonferenza sono $hat(V)=(1/2)hat(O)$ dim si parte da V su OB e altri due casi con A,B dallo stesso lato oppure da lati opposti ad OB
- $forall c < d $ dim: si usa la dis. triangolare
- $(d _|_ c) cap c -= $pm(c) il diametro perp. alla corda ne stacca il pm. dim: altezza negli isosceli
- $c_1 cong c_2 lrarr d(c_1,O)=d(c_2,O) $ corde $cong$ sono equidistanti dal centro e viceversa dim: cateto e ipotenusa nei rettangoli (quarto)
- $r$ esterna $gamma harr rcapgamma=O/$
- $r$ tg $gamma harr rcapgamma={A}$
- $r$ sec $gamma harr rcapgamma={A,B},AneB$
- angoli al centro e angoli alla circonferenza sono corrispondenti se insistono sullo stesso arco
- le due tangenti per un punto ad una circonferenza staccano segmenti $cong$
quadrilateri inscritti e circoscritti
- ABCD.. inscritto $hArr$ angoli opposti supplementari
- ABCD.. inscritto $hArr cap Assi = {O}$
- apotema: $r$ di $gamma$ inscritta in ABCD cioe' d(lato,centro)
Figure equivalenti
- A=B o A$-=$B se sono perfettamente sovrapposte
- A$cong$B se sono sovrapponibili
- A$stackrel(.)=$B se hanno la stessa superficie
- $cong rarr stackrel(.)=$
- $stackrel(.)=$ e una relaz. di equivalenza:R,S,T
- Riflessiva: $Astackrel(.)=A$
- Simmetrica: $Astackrel(.)=B rarr Bstackrel(.)=A$
- Transitiva: $Astackrel(.)=B,Bstackrel(.)=C rarr Astackrel(.)=C$
- Commutativa: $A+Bstackrel(.)=B+A$
- Associativa: $(A+B)+Cstackrel(.)=A+(B+C)$
- $Somma$ di superfici definita solo se hanno al massimo il contorno in comune
- Differenza $A-B=C harr B+C=A $
- $(Adot=B,Bdot=C) rarr(Adot=C)$ assioma di sostituzione (o transititiva'): posso sostituire ad un angolo uno ad esso $cong$
- $(Adot=kB,Bdot=C) rarr(Adot=kC)$ assioma di sostituzione: posso sostituire ad un angolo uno ad esso $cong$
- $Astackrel(.)=A',Bstackrel(.)=B',AcapB=A'capB'=O/ rarr A+-Bstackrel(.)=A'+-B'$ somme o differenze di figure a due a due $stackrel(.)=$ sono a loro volta $stackrel(.)=$
- $Adot=BrarrkAdot=kB$ multipli o sottomultipli di figure tra loro $dot=$ sono a loro volta $dot=$
- $Astackrel(.)=A',Bstackrel(.)=B' rarr (A+-B)stackrel(.)=(A'+B')$ qua
- $Astackrel(.)=C,Bstackrel(.)=D rarr (A-B)stackrel(.)=(C-D)$
- $AcongA',BcongB' rarr (A+-B)cong(A'+-B')$ qui!
- $AcongC,BcongD rarr (A-B)cong(C-D)$
- $A non stackrel(.)= (BsubA)$ una figura non puo' essere equivalente ad una sua parte
- A,B equiscomponibili se somma di figure ordinatamente $cong$
- equiscomponibili $rarr cong$
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AB//CD,BC//DA, DH $_|_$AB A'B'//C'D',B'C'//D'A' D'H' $_|_$A'B' AB$cong$A'B' DH$cong$D'H'
| $rarr$
| $ABCDstackrel(.)=A'B'C'D'$
| Due parallelogrammi con basi e altezze $cong$ sono $stackrel(.)=$
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AB//CD,BC//DA, DH $_|_$AB A'B'//C'D',B'C'//D'A' D'H' $_|_$A'B' AB$cong$A'B' $ABCDstackrel(.)=A'B'C'D'$
| $rarr$
| DH$cong$D'H'
| Due parallelogrammi $stackrel(.)=$ con basi $cong$ hanno altezze $cong$
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AB//CD,BC//DA, DH $_|_$AB A'B'//C'D',B'C'//D'A' D'H' $_|_$A'B' DH$cong$D'H' $ABCDstackrel(.)=A'B'C'D'$
| $rarr$
| AB$cong$A'B'
| Due parallelogrammi $stackrel(.)=$ con altezze $cong$ hanno basi $cong$
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- ABC,$hat(A)=pi/2$,$q(c_1)dot=r(p_1,i)$ Euclide 1: in un tr.rett. il quadrato costruito su un cateto equivale al rettangolo costruito sulla ipotenusa e sulla proiez. del cateto sull'ipotenusa
- ABC,$hat(A)=pi/2$,$q(i)dot=q(c_1)+q(c_2)$ Pitagora: in un tr.rett. il quadrato costruito sull'ipotenusa equivale alla somma dei quadrati costruiti sui cateti
- ABC,$hat(A)=pi/2$,$h^2dot=p_1i-p_1^2=p_1(i-p_1)=p_1p_2$ Euclide 2: in un tr.rett. il quadrato costruito sull'altezza equivale al rettangolo costruito sulle proiezioni dei cateti
- teo dei triangoli sul parallelismo ai lati dei segmenti tra punti medi: (pag f+155)
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