- Es. 635_243
Per risolvere l'equazione \(\left| \frac{1}{2} - x \right| = \frac{1}{3} x - \frac{1}{12}\), dobbiamo considerare i due casi dell'equazione assoluta:
Caso 1:
\(\frac{1}{2} - x \geq 0\)
In questo caso, possiamo scrivere l'equazione senza il valore assoluto:
\[ \frac{1}{2} - x = \frac{1}{3} x - \frac{1}{12} \]
Portiamo tutti i termini con \(x\) da una parte e i termini costanti dall'altra:
\[ \frac{1}{2} + \frac{1}{12} = \frac{1}{3} x + x \]
Troviamo un denominatore comune:
\[ \frac{6}{12} + \frac{1}{12} = \frac{4}{12} x \]
\[ \frac{7}{12} = \frac{4}{12} x \]
Moltiplichiamo entrambi i lati per \(\frac{12}{4}\):
\[ \frac{7}{4} = x \]
Caso 2:
\(\frac{1}{2} - x < 0\)
In questo caso, possiamo scrivere l'equazione con un valore assoluto negativo:
\[ -\left( \frac{1}{2} - x \right) = \frac{1}{3} x - \frac{1}{12} \]
\[ -\frac{1}{2} + x = \frac{1}{3} x - \frac{1}{12} \]
Portiamo tutti i termini con \(x\) da una parte e i termini costanti dall'altra:
\[ x - \frac{1}{3} x = -\frac{1}{2} + \frac{1}{12} \]
Troviamo un denominatore comune:
\[ \frac{3}{3} x - \frac{1}{3} x = -\frac{6}{12} + \frac{1}{12} \]
\[ \frac{2}{3} x = -\frac{5}{12} \]
Moltiplichiamo entrambi i lati per \(\frac{3}{2}\):
\[ x = -\frac{5}{12} \cdot \frac{3}{2} \]
\[ x = -\frac{15}{24} \]
\[ x = -\frac{5}{8} \]
Soluzioni
Quindi, le soluzioni dell'equazione \(\left| \frac{1}{2} - x \right| = \frac{1}{3} x - \frac{1}{12}\) sono:
\[ x = \frac{7}{4} \]
\[ x = -\frac{5}{8} \]
Se ci sono ulteriori chiarimenti necessari o se desideri controllare i passaggi, fammelo sapere!
Certo! Ecco 10 esercizi di equazioni di primo grado o fattorizzabili con uno o due valori assoluti, con le relative soluzioni:
- Esercizio 1
\[ |x - 3| = 5 \]
Soluzione:
\[ x - 3 = 5 \quad \text{oppure} \quad x - 3 = -5 \]
\[ x = 8 \quad \text{oppure} \quad x = -2 \]
- Esercizio 2
\[ |2x + 1| = 7 \]
Soluzione:
\[ 2x + 1 = 7 \quad \text{oppure} \quad 2x + 1 = -7 \]
\[ 2x = 6 \quad \text{oppure} \quad 2x = -8 \]
\[ x = 3 \quad \text{oppure} \quad x = -4 \]
- Esercizio 3
\[ |3x - 4| = 2 \]
Soluzione:
\[ 3x - 4 = 2 \quad \text{oppure} \quad 3x - 4 = -2 \]
\[ 3x = 6 \quad \text{oppure} \quad 3x = 2 \]
\[ x = 2 \quad \text{oppure} \quad x = \frac{2}{3} \]
- Esercizio 4
\[ |x + 2| = 3 \]
Soluzione:
\[ x + 2 = 3 \quad \text{oppure} \quad x + 2 = -3 \]
\[ x = 1 \quad \text{oppure} \quad x = -5 \]
- Esercizio 5
\[ |4x - 1| = 9 \]
Soluzione:
\[ 4x - 1 = 9 \quad \text{oppure} \quad 4x - 1 = -9 \]
\[ 4x = 10 \quad \text{oppure} \quad 4x = -8 \]
\[ x = \frac{10}{4} = 2.5 \quad \text{oppure} \quad x = -2 \]
- Esercizio 6
\[ |x - 6| + 2 = 8 \]
Soluzione:
\[ |x - 6| = 6 \]
\[ x - 6 = 6 \quad \text{oppure} \quad x - 6 = -6 \]
\[ x = 12 \quad \text{oppure} \quad x = 0 \]
- Esercizio 7
\[ 2|x - 3| = 10 \]
Soluzione:
\[ |x - 3| = 5 \]
\[ x - 3 = 5 \quad \text{oppure} \quad x - 3 = -5 \]
\[ x = 8 \quad \text{oppure} \quad x = -2 \]
- Esercizio 8
\[ |5x + 4| = 6 \]
Soluzione:
\[ 5x + 4 = 6 \quad \text{oppure} \quad 5x + 4 = -6 \]
\[ 5x = 2 \quad \text{oppure} \quad 5x = -10 \]
\[ x = \frac{2}{5} \quad \text{oppure} \quad x = -2 \]
- Esercizio 9
\[ |3x + 2| - 4 = 5 \]
Soluzione:
\[ |3x + 2| = 9 \]
\[ 3x + 2 = 9 \quad \text{oppure} \quad 3x + 2 = -9 \]
\[ 3x = 7 \quad \text{oppure} \quad 3x = -11 \]
\[ x = \frac{7}{3} \quad \text{oppure} \quad x = -\frac{11}{3} \]
- Esercizio 10
\[ |2x - 5| + 3 = 7 \]
Soluzione:
\[ |2x - 5| = 4 \]
\[ 2x - 5 = 4 \quad \text{oppure} \quad 2x - 5 = -4 \]
\[ 2x = 9 \quad \text{oppure} \quad 2x = 1 \]
\[ x = \frac{9}{2} \quad \text{oppure} \quad x = \frac{1}{2} \]
Spero che questi esercizi siano utili! Se hai bisogno di ulteriori chiarimenti, fammelo sapere.
Certo! Ecco 10 esercizi di equazioni di primo grado o fattorizzabili con uno o due valori assoluti, con le relative soluzioni:
- Esercizio 1
\[ |x - 3| = 5 \]
Soluzione:
\[ x - 3 = 5 \quad \text{oppure} \quad x - 3 = -5 \]
\[ x = 8 \quad \text{oppure} \quad x = -2 \]
- Esercizio 2
\[ |2x + 1| = 7 \]
Soluzione:
\[ 2x + 1 = 7 \quad \text{oppure} \quad 2x + 1 = -7 \]
\[ 2x = 6 \quad \text{oppure} \quad 2x = -8 \]
\[ x = 3 \quad \text{oppure} \quad x = -4 \]
- Esercizio 3
\[ |3x - 4| = 2 \]
Soluzione:
\[ 3x - 4 = 2 \quad \text{oppure} \quad 3x - 4 = -2 \]
\[ 3x = 6 \quad \text{oppure} \quad 3x = 2 \]
\[ x = 2 \quad \text{oppure} \quad x = \frac{2}{3} \]
- Esercizio 4
\[ |x + 2| = 3 \]
Soluzione:
\[ x + 2 = 3 \quad \text{oppure} \quad x + 2 = -3 \]
\[ x = 1 \quad \text{oppure} \quad x = -5 \]
- Esercizio 5
\[ |4x - 1| = 9 \]
Soluzione:
\[ 4x - 1 = 9 \quad \text{oppure} \quad 4x - 1 = -9 \]
\[ 4x = 10 \quad \text{oppure} \quad 4x = -8 \]
\[ x = \frac{10}{4} = 2.5 \quad \text{oppure} \quad x = -2 \]
- Esercizio 6
\[ |x - 6| + 2 = 8 \]
Soluzione:
\[ |x - 6| = 6 \]
\[ x - 6 = 6 \quad \text{oppure} \quad x - 6 = -6 \]
\[ x = 12 \quad \text{oppure} \quad x = 0 \]
- Esercizio 7
\[ 2|x - 3| = 10 \]
Soluzione:
\[ |x - 3| = 5 \]
\[ x - 3 = 5 \quad \text{oppure} \quad x - 3 = -5 \]
\[ x = 8 \quad \text{oppure} \quad x = -2 \]
- Esercizio 8
\[ |5x + 4| = 6 \]
Soluzione:
\[ 5x + 4 = 6 \quad \text{oppure} \quad 5x + 4 = -6 \]
\[ 5x = 2 \quad \text{oppure} \quad 5x = -10 \]
\[ x = \frac{2}{5} \quad \text{oppure} \quad x = -2 \]
- Esercizio 9
\[ |3x + 2| - 4 = 5 \]
Soluzione:
\[ |3x + 2| = 9 \]
\[ 3x + 2 = 9 \quad \text{oppure} \quad 3x + 2 = -9 \]
\[ 3x = 7 \quad \text{oppure} \quad 3x = -11 \]
\[ x = \frac{7}{3} \quad \text{oppure} \quad x = -\frac{11}{3} \]
- Esercizio 10
\[ |2x - 5| + 3 = 7 \]
Soluzione:
\[ |2x - 5| = 4 \]
\[ 2x - 5 = 4 \quad \text{oppure} \quad 2x - 5 = -4 \]
\[ 2x = 9 \quad \text{oppure} \quad 2x = 1 \]
\[ x = \frac{9}{2} \quad \text{oppure} \quad x = \frac{1}{2} \]
Spero che questi esercizi siano utili! Se hai bisogno di ulteriori chiarimenti, fammelo sapere.
Certo! Ecco 5 esercizi più complessi che richiedono una discussione più approfondita dell'argomento del valore assoluto, inclusi alcuni con il valore assoluto al denominatore.
- Esercizio 1
\[ \frac{2|x - 1|}{x + 3} = 4 \]
Soluzione:
1. Consideriamo i due casi del valore assoluto:
- Caso 1: \( x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1 \)
- Caso 2: \( x - 1 < 0 \Rightarrow x < 1 \)
Caso 1: \( x \geq 1 \)
\[ \frac{2(x - 1)}{x + 3} = 4 \]
\[ 2(x - 1) = 4(x + 3) \]
\[ 2x - 2 = 4x + 12 \]
\[ -2 = 2x + 12 \]
\[ -14 = 2x \]
\[ x = -7 \]
Verifica: \( x = -7 \) non è possibile perché \(-7 < 1\).
Caso 2: \( x < 1 \)
\[ \frac{2(1 - x)}{x + 3} = 4 \]
\[ 2(1 - x) = 4(x + 3) \]
\[ 2 - 2x = 4x + 12 \]
\[ 2 - 12 = 4x + 2x \]
\[ -10 = 6x \]
\[ x = -\frac{10}{6} = -\frac{5}{3} \]
Verifica: \( -\frac{5}{3} < 1 \), quindi \( x = -\frac{5}{3} \) è una soluzione valida.
- Esercizio 2
\[ \frac{|x + 2|}{x - 1} = 3 \]
Soluzione:
1. Consideriamo i due casi del valore assoluto:
- Caso 1: \( x + 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq -2 \)
- Caso 2: \( x + 2 < 0 \Rightarrow x < -2 \)
Caso 1: \( x \geq -2 \)
\[ \frac{x + 2}{x - 1} = 3 \]
\[ x + 2 = 3(x - 1) \]
\[ x + 2 = 3x - 3 \]
\[ 2 + 3 = 3x - x \]
\[ 5 = 2x \]
\[ x = \frac{5}{2} \]
Verifica: \( \frac{5}{2} \geq -2 \), quindi \( x = \frac{5}{2} \) è una soluzione valida.
Caso 2: \( x < -2 \)
\[ \frac{-(x + 2)}{x - 1} = 3 \]
\[ \frac{-x - 2}{x - 1} = 3 \]
\[ -x - 2 = 3(x - 1) \]
\[ -x - 2 = 3x - 3 \]
\[ -2 + 3 = 3x + x \]
\[ 1 = 4x \]
\[ x = \frac{1}{4} \]
Verifica: \( \frac{1}{4} \geq -2 \), quindi \( x = \frac{1}{4} \) non è valido.
- Esercizio 3
\[ |2x - 3| + |x + 4| = 10 \]
Soluzione:
1. Consideriamo i tre casi del valore assoluto:
- Caso 1: \( 2x - 3 \geq 0 \) e \( x + 4 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{3}{2} \)
- Caso 2: \( 2x - 3 \geq 0 \) e \( x + 4 < 0 \Rightarrow \frac{3}{2} \leq x < -4 \)
- Caso 3: \( 2x - 3 < 0 \) e \( x + 4 \geq 0 \Rightarrow x < \frac{3}{2} \)
Caso 1: \( x \geq \frac{3}{2} \)
\[ 2x - 3 + x + 4 = 10 \]
\[ 3x + 1 = 10 \]
\[ 3x = 9 \]
\[ x = 3 \]
Verifica: \( 3 \geq \frac{3}{2} \), quindi \( x = 3 \) è una soluzione valida.
Caso 2: Nessun \( x \) soddisfa \(\frac{3}{2} \leq x < -4 \).
Caso 3: \( x < \frac{3}{2} \)
\[ -(2x - 3) + x + 4 = 10 \]
\[ -2x + 3 + x + 4 = 10 \]
\[ -x + 7 = 10 \]
\[ -x = 3 \]
\[ x = -3 \]
Verifica: \( -3 < \frac{3}{2} \), quindi \( x = -3 \) è una soluzione valida.
- Esercizio 4
\[ \frac{|3x - 2|}{2x + 1} = 2 \]
Soluzione:
1. Consideriamo i due casi del valore assoluto:
- Caso 1: \( 3x - 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{2}{3} \)
- Caso 2: \( 3x - 2 < 0 \Rightarrow x < \frac{2}{3} \)
Caso 1: \( x \geq \frac{2}{3} \)
\[ \frac{3x - 2}{2x + 1} = 2 \]
\[ 3x - 2 = 2(2x + 1) \]
\[ 3x - 2 = 4x + 2 \]
\[ -2 - 2 = 4x - 3x \]
\[ -4 = x \]
Verifica: \( -4 < \frac{2}{3} \), quindi \( x = -4 \) non è valido.
Caso 2: \( x < \frac{2}{3} \)
\[ \frac{-(3x - 2)}{2x + 1} = 2 \]
\[ \frac{-3x + 2}{2x + 1} = 2 \]
\[ -3x + 2 = 2(2x + 1) \]
\[ -3x + 2 = 4x + 2 \]
\[ 2 - 2 = 4x + 3x \]
\[ 0 = 7x \]
\[ x = 0 \]
Verifica: \( 0 < \frac{2}{3} \), quindi \( x = 0 \) è una soluzione valida.
- Esercizio 5
\[ \frac{|x - 4|}{|x + 1|} = 2 \]
Soluzione:
1. Consideriamo i quattro casi del valore assoluto:
- Caso 1: \( x - 4 \geq 0 \) e \( x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 4 \)
- Caso 2: \( x - 4 \geq 0 \) e \( x + 1 < 0 \Rightarrow 4 \leq x < -1 \)
- Caso 3: \( x - 4 < 0 \) e \( x + 1 \geq 0 \Rightarrow x < 4 \)
- Caso 4: \( x - 4 < 0 \) e \( x + 1 < 0 \Rightarrow x < -1 \)
Caso 1: \( x \geq 4 \)
\[ \frac{x - 4}{x + 1} = 2 \]
\[ x - 4 = 2(x + 1) \]
\[ x - 4 = 2x + 2 \]
\[ -4 - 2 = 2x - x \]
\[ -6 = x \]
Verifica: \( -6 \geq 4 \) non è possibile.
Caso 2: Nessun \( x \) soddisfa \(4 \leq x < -1\).
Caso 3: \( x < 4 \)
\[ \frac{-(x - 4)}{x + 1} = 2 \]
\[ \frac{-x + 4}{x + 1} = 2 \]
\[ -x + 4 = 2(x + 1) \]
\[ -x + 4 = 2x + 2 \]
\[ 4 - 2 = 2x + x \]
\[ 2 = 3x \]
\[ x = \frac{2}{3}
Certo! Ecco 5 esercizi più complessi che richiedono una discussione più approfondita dell'argomento del valore assoluto, inclusi alcuni con il valore assoluto al denominatore.
- Esercizio 1
\[ \frac{2|x - 1|}{x + 3} = 4 \]
Soluzione:
1. Consideriamo i due casi del valore assoluto:
- Caso 1: \( x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1 \)
- Caso 2: \( x - 1 < 0 \Rightarrow x < 1 \)
Caso 1: \( x \geq 1 \)
\[ \frac{2(x - 1)}{x + 3} = 4 \]
\[ 2(x - 1) = 4(x + 3) \]
\[ 2x - 2 = 4x + 12 \]
\[ -2 = 2x + 12 \]
\[ -14 = 2x \]
\[ x = -7 \]
Verifica: \( x = -7 \) non è possibile perché \(-7 < 1\).
Caso 2: \( x < 1 \)
\[ \frac{2(1 - x)}{x + 3} = 4 \]
\[ 2(1 - x) = 4(x + 3) \]
\[ 2 - 2x = 4x + 12 \]
\[ 2 - 12 = 4x + 2x \]
\[ -10 = 6x \]
\[ x = -\frac{10}{6} = -\frac{5}{3} \]
Verifica: \( -\frac{5}{3} < 1 \), quindi \( x = -\frac{5}{3} \) è una soluzione valida.
- Esercizio 2
\[ \frac{|x + 2|}{x - 1} = 3 \]
Soluzione:
1. Consideriamo i due casi del valore assoluto:
- Caso 1: \( x + 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq -2 \)
- Caso 2: \( x + 2 < 0 \Rightarrow x < -2 \)
Caso 1: \( x \geq -2 \)
\[ \frac{x + 2}{x - 1} = 3 \]
\[ x + 2 = 3(x - 1) \]
\[ x + 2 = 3x - 3 \]
\[ 2 + 3 = 3x - x \]
\[ 5 = 2x \]
\[ x = \frac{5}{2} \]
Verifica: \( \frac{5}{2} \geq -2 \), quindi \( x = \frac{5}{2} \) è una soluzione valida.
Caso 2: \( x < -2 \)
\[ \frac{-(x + 2)}{x - 1} = 3 \]
\[ \frac{-x - 2}{x - 1} = 3 \]
\[ -x - 2 = 3(x - 1) \]
\[ -x - 2 = 3x - 3 \]
\[ -2 + 3 = 3x + x \]
\[ 1 = 4x \]
\[ x = \frac{1}{4} \]
Verifica: \( \frac{1}{4} \geq -2 \), quindi \( x = \frac{1}{4} \) non è valido.
- Esercizio 3
\[ |2x - 3| + |x + 4| = 10 \]
Soluzione:
1. Consideriamo i tre casi del valore assoluto:
- Caso 1: \( 2x - 3 \geq 0 \) e \( x + 4 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{3}{2} \)
- Caso 2: \( 2x - 3 \geq 0 \) e \( x + 4 < 0 \Rightarrow \frac{3}{2} \leq x < -4 \)
- Caso 3: \( 2x - 3 < 0 \) e \( x + 4 \geq 0 \Rightarrow x < \frac{3}{2} \)
Caso 1: \( x \geq \frac{3}{2} \)
\[ 2x - 3 + x + 4 = 10 \]
\[ 3x + 1 = 10 \]
\[ 3x = 9 \]
\[ x = 3 \]
Verifica: \( 3 \geq \frac{3}{2} \), quindi \( x = 3 \) è una soluzione valida.
Caso 2: Nessun \( x \) soddisfa \(\frac{3}{2} \leq x < -4 \).
Caso 3: \( x < \frac{3}{2} \)
\[ -(2x - 3) + x + 4 = 10 \]
\[ -2x + 3 + x + 4 = 10 \]
\[ -x + 7 = 10 \]
\[ -x = 3 \]
\[ x = -3 \]
Verifica: \( -3 < \frac{3}{2} \), quindi \( x = -3 \) è una soluzione valida.
- Esercizio 4
\[ \frac{|3x - 2|}{2x + 1} = 2 \]
Soluzione:
1. Consideriamo i due casi del valore assoluto:
- Caso 1: \( 3x - 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{2}{3} \)
- Caso 2: \( 3x - 2 < 0 \Rightarrow x < \frac{2}{3} \)
Caso 1: \( x \geq \frac{2}{3} \)
\[ \frac{3x - 2}{2x + 1} = 2 \]
\[ 3x - 2 = 2(2x + 1) \]
\[ 3x - 2 = 4x + 2 \]
\[ -2 - 2 = 4x - 3x \]
\[ -4 = x \]
Verifica: \( -4 < \frac{2}{3} \), quindi \( x = -4 \) non è valido.
Caso 2: \( x < \frac{2}{3} \)
\[ \frac{-(3x - 2)}{2x + 1} = 2 \]
\[ \frac{-3x + 2}{2x + 1} = 2 \]
\[ -3x + 2 = 2(2x + 1) \]
\[ -3x + 2 = 4x + 2 \]
\[ 2 - 2 = 4x + 3x \]
\[ 0 = 7x \]
\[ x = 0 \]
Verifica: \( 0 < \frac{2}{3} \), quindi \( x = 0 \) è una soluzione valida.
- Esercizio 5
\[ \frac{|x - 4|}{|x + 1|} = 2 \]
Soluzione:
1. Consideriamo i quattro casi del valore assoluto:
- Caso 1: \( x - 4 \geq 0 \) e \( x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 4 \)
- Caso 2: \( x - 4 \geq 0 \) e \( x + 1 < 0 \Rightarrow 4 \leq x < -1 \)
- Caso 3: \( x - 4 < 0 \) e \( x + 1 \geq 0 \Rightarrow x < 4 \)
- Caso 4: \( x - 4 < 0 \) e \( x + 1 < 0 \Rightarrow x < -1 \)
Caso 1: \( x \geq 4 \)
\[ \frac{x - 4}{x + 1} = 2 \]
\[ x - 4 = 2(x + 1) \]
\[ x - 4 = 2x + 2 \]
\[ -4 - 2 = 2x - x \]
\[ -6 = x \]
Verifica: \( -6 \geq 4 \) non è possibile.
Caso 2: Nessun \( x \) soddisfa \(4 \leq x < -1\).
Caso 3: \( x < 4 \)
\[ \frac{-(x - 4)}{x + 1} = 2 \]
\[ \frac{-x + 4}{x + 1} = 2 \]
\[ -x + 4 = 2(x + 1) \]
\[ -x + 4 = 2x + 2 \]
\[ 4 - 2 = 2x + x \]
\[ 2 = 3x \]
\[ x = \frac{2}{3}
Certo, continuo con la soluzione degli esercizi rimanenti.
Verifica:
\[ \frac{2}{3} < 4 \Rightarrow x = \frac{2}{3} \] è una soluzione valida.
Caso 4: \( x < -1 \)
\[ \frac{-(x - 4)}{-(x + 1)} = 2 \]
\[ \frac{-x + 4}{-x - 1} = 2 \]
\[ -x + 4 = 2(-x - 1) \]
\[ -x + 4 = -2x - 2 \]
\[ 4 + 2 = -2x + x \]
\[ 6 = -x \]
\[ x = -6 \]
Verifica: \( -6 < -1 \Rightarrow x = -6 \] è una soluzione valida.
- Esercizio 6
\[ |x^2 - 4| = 5 \]
Soluzione:
1. Consideriamo i due casi del valore assoluto:
- Caso 1: \( x^2 - 4 \geq 0 \Rightarrow x^2 \geq 4 \)
- Caso 2: \( x^2 - 4 < 0 \Rightarrow x^2 < 4 \)
Caso 1: \( x^2 \geq 4 \)
\[ x^2 - 4 = 5 \]
\[ x^2 = 9 \]
\[ x = \pm 3 \]
Caso 2: \( x^2 < 4 \)
\[ -(x^2 - 4) = 5 \]
\[ -x^2 + 4 = 5 \]
\[ -x^2 = 1 \]
\[ x^2 = -1 \]
Non ci sono soluzioni reali.
Soluzione finale:
\[ x = 3 \quad \text{oppure} \quad x = -3 \]
- Esercizio 7
\[ |x - 2| + |2x + 1| = 6 \]
Soluzione:
1. Consideriamo i tre casi del valore assoluto:
- Caso 1: \( x - 2 \geq 0 \) e \( 2x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2 \)
- Caso 2: \( x - 2 \geq 0 \) e \( 2x + 1 < 0 \Rightarrow x \geq 2 \)
- Caso 3: \( x - 2 < 0 \) e \( 2x + 1 \geq 0 \Rightarrow x < 2 \)
- Caso 4: \( x - 2 < 0 \) e \( 2x + 1 < 0 \Rightarrow x < -\frac{1}{2} \)
Caso 1: \( x \geq 2 \)
\[ (x - 2) + (2x + 1) = 6 \]
\[ 3x - 1 = 6 \]
\[ 3x = 7 \]
\[ x = \frac{7}{3} \]
Verifica: \( \frac{7}{3} \geq 2 \), quindi \( x = \frac{7}{3} \) è una soluzione valida.
Caso 2: \( -\frac{1}{2} \leq x < 2 \)
\[ (x - 2) + (2x + 1) = 6 \]
\[ x - 2 - (2x + 1) = 6 \]
\[ x - 2 - 2x - 1 = 6 \]
\[ -x - 3 = 6 \]
\[ -x = 9 \]
\[ x = -9 \]
Non ci sono soluzioni reali.
Caso 3: \( x < 2 \)
\[ -(x - 2) + (2x + 1) = 6 \]
\[ -x + 2 + 2x + 1 = 6 \]
\[ x + 3 = 6 \]
\[ x = 3 \]
Verifica: \( 3 \geq 2 \), quindi \( x = 3 \) non è valido.
Caso 4: \( x < -\frac{1}{2} \)
\[ -(x - 2) - (2x + 1) = 6 \]
\[ -x + 2 - 2x - 1 = 6 \]
\[ -3x + 1 = 6 \]
\[ -3x = 5 \]
\[ x = -\frac{5}{3} \]
Verifica: \( -\frac{5}{3} < -\frac{1}{2} \), quindi \( x = -\frac{5}{3} \) è una soluzione valida.
- Esercizio 8
\[ \frac{|x + 3|}{|x - 2|} = 3 \]
Soluzione:
1. Consideriamo i quattro casi del valore assoluto:
- Caso 1: \( x + 3 \geq 0 \) e \( x - 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2 \)
- Caso 2: \( x + 3 \geq 0 \) e \( x - 2 < 0 \Rightarrow x \geq 2 \)
- Caso 3: \( x + 3 < 0 \) e \( x - 2 \geq 0 \Rightarrow x < 2 \)
- Caso 4: \( x + 3 < 0 \) e \( x - 2 < 0 \Rightarrow x < 2 \)
Caso 1: \( x \geq 2 \)
\[ \frac{x + 3}{x - 2} = 3 \]
\[ x + 3 = 3(x - 2) \]
\[ x + 3 = 3x - 6 \]
\[ 3 + 6 = 3x - x \]
\[ 9 = 2x \]
\[ x = \frac{9}{2} \]
Verifica: \( \frac{9}{2} \geq 2 \), quindi \( x = \frac{9}{2} \) è una soluzione valida.
Caso 2: Nessun \( x \) soddisfa \(4 \leq x < -1\).
Caso 3: \( x < 2 \)
\[ \frac{-(x + 3)}{x - 2} = 3 \]
\[ \frac{-x - 3}{x - 2} = 3 \]
\[ -x - 3 = 3(x - 2) \]
\[ -x - 3 = 3x - 6 \]
\[ -3 + 6 = 3x + x \]
\[ 3 = 4x \]
\[ x = \frac{3}{4} \]
Verifica: \( \frac{3}{4} < 2 \), quindi \( x = \frac{3}{4} \) è una soluzione valida.
Caso 4: \( x < -1 \)
\[ \frac{-(x + 3)}{-(x - 2)} = 3 \]
\[ \frac{-x - 3}{-x - 2} = 3 \]
\[ -x - 3 = 3(-x - 2) \]
\[ -x - 3 = -3x - 6 \]
\[ 3 + 6 = -3x + x \]
\[ 9 = -2x \]
\[ x = -\frac{9}{2} \]
Verifica: \( -\frac{9}{2} < -\frac{1}{2} \), quindi \( x = -\frac{9}{2} \) è una soluzione valida.
- Esercizio 9
\[ |2x + 1| + |x - 3| = 7 \]
Soluzione:
1. Consideriamo i tre casi del valore assoluto:
- Caso 1: \( 2x + 1 \geq 0 \) e \( x - 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq 3 \)
- Caso 2: \( 2x + 1 \geq 0 \) e \( x - 3 < 0 \Rightarrow -\frac{1}{2} \leq x < 3 \)
- Caso 3: \( 2x + 1 < 0 \) e \( x - 3 \geq 0 \Rightarrow x < -\frac{1}{2} \)
Caso 1: \( x \geq 3 \)
\[ 2x + 1 + x - 3 = 7 \]
\[ 3x - 2 = 7 \]
\[ 3x = 9 \]
\[ x = 3 \]
Verifica: \( x = 3 \) è una soluzione valida.
Caso 2: \( -\frac{1}{2} \leq x < 3 \)
\[ 2x + 1 - (x - 3) = 7 \]
Certamente, continuo con la soluzione dell'Esercizio 9 e l'Esercizio 10.
Caso 2: \( -\frac{1}{2} \leq x < 3 \)
\[ 2x + 1 - (x - 3) = 7 \]
\[ 2x + 1 - x + 3 = 7 \]
\[ x + 4 = 7 \]
\[ x = 3 \]
Verifica: \( x = 3 \) non è valido in questo intervallo (\( x < 3 \)).
Caso 3: \( x < -\frac{1}{2} \)
\[ -(2x + 1) + (x - 3) = 7 \]
\[ -2x - 1 + x - 3 = 7 \]
\[ -x - 4 = 7 \]
\[ -x = 11 \]
\[ x = -11 \]
Verifica: \( x = -11 \) è una soluzione valida perché \( -11 < -\frac{1}{2} \).
Soluzione finale:
\[ x = 3 \quad \text{oppure} \quad x = -11 \]
- Esercizio 10
\[ \frac{|x^2 - 4x|}{|x - 1|} = 2 \]
Soluzione:
1. Consideriamo i quattro casi del valore assoluto:
- Caso 1: \( x^2 - 4x \geq 0 \) e \( x - 1 \geq 0 \Rightarrow x(x - 4) \geq 0 \) e \( x \geq 1 \)
- Caso 2: \( x^2 - 4x \geq 0 \) e \( x - 1 < 0 \Rightarrow x(x - 4) \geq 0 \) e \( x < 1 \)
- Caso 3: \( x^2 - 4x < 0 \) e \( x - 1 \geq 0 \Rightarrow x(x - 4) < 0 \) e \( x \geq 1 \)
- Caso 4: \( x^2 - 4x < 0 \) e \( x - 1 < 0 \Rightarrow x(x - 4) < 0 \) e \( x < 1 \)
Caso 1: \( x \geq 1 \) e \( x(x - 4) \geq 0 \)
\[ \frac{x(x - 4)}{x - 1} = 2 \]
\[ x(x - 4) = 2(x - 1) \]
\[ x^2 - 4x = 2x - 2 \]
\[ x^2 - 6x + 2 = 0 \]
Usiamo la formula quadratica:
\[ x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 8}}{2} \]
\[ x = \frac{6 \pm \sqrt{28}}{2} \]
\[ x = \frac{6 \pm 2\sqrt{7}}{2} \]
\[ x = 3 \pm \sqrt{7} \]
Verifica:
\[ 3 + \sqrt{7} > 1 \quad \text{e} \quad 3 - \sqrt{7} < 1 \]
Quindi, \( x = 3 + \sqrt{7} \) è valido, ma \( x = 3 - \sqrt{7} \) non è valido in questo caso.
Caso 2: \( x < 1 \) e \( x(x - 4) \geq 0 \)
\[ x(x - 4) = 2(x - 1) \]
Nessun \( x \) soddisfa entrambe le condizioni.
Caso 3: \( x \geq 1 \) e \( x(x - 4) < 0 \)
\[ \frac{-(x(x - 4))}{x - 1} = 2 \]
\[ \frac{-x^2 + 4x}{x - 1} = 2 \]
\[ -x^2 + 4x = 2(x - 1) \]
\[ -x^2 + 4x = 2x - 2 \]
\[ -x^2 + 2x + 2 = 0 \]
Usiamo la formula quadratica:
\[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 8}}{-2} \]
\[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{-2} \]
\[ x = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{-2} \]
\[ x = 1 \pm \sqrt{3} \]
Verifica:
\[ 1 + \sqrt{3} \geq 1 \quad \text{e} \quad 1 - \sqrt{3} < 1 \]
Quindi, \( x = 1 + \sqrt{3} \) è valido, ma \( x = 1 - \sqrt{3} \) non è valido in questo caso.
Caso 4: \( x < 1 \) e \( x(x - 4) < 0 \)
\[ \frac{-(x(x - 4))}{x - 1} = 2 \]
\[ \frac{-x^2 + 4x}{x - 1} = 2 \]
\[ -x^2 + 4x = 2(x - 1) \]
\[ -x^2 + 4x = 2x - 2 \]
\[ -x^2 + 2x + 2 = 0 \]
Usiamo la formula quadratica:
\[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 8}}{-2} \]
\[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{-2} \]
\[ x = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{-2} \]
\[ x = 1 \pm \sqrt{3} \]
Verifica:
\[ 1 - \sqrt{3} < 1 \quad \text{e} \quad 1 + \sqrt{3} < 1 \]
Quindi, \( x = 1 - \sqrt{3} \) è valido.
Soluzione finale:
\[ x = 3 + \sqrt{7} \quad \text{oppure} \quad x = 1 + \sqrt{3} \quad \text{oppure} \quad x = 1 - \sqrt{3} \]
Spero che questi esercizi siano utili! Se hai bisogno di ulteriori chiarimenti, fammelo sapere.