SOLUZIONI Verifica Scritta classe 3E PNI      13/10/04

A) Determinare e scrivere l'insieme soluzione delle seguenti dis/equazioni:  Punti 5
                                                                ______                      ________
                                                    -b  ±  Ö b² - 4ac          -2 ±  Ö 4 + 60
    1) 3x² +2x - 5 =0    x_1,2   =    ---------------------  =   --------------------  = [ -2 ± 8] / 6  =  1; -5/3
                                                                2a                                   6
                                     { x Π R, x = 1 o  x= - 5/3 }

    2) 2x²-5x+3  ³ 0      x₁ =  1  , x₂ =  3/2   sono le radici, concavità verso l'alto quindi  valori esterni  { x Π R, x £  1  oppure  x ³ 3/2 }
    3) 2x + a £  3x +5     { x Π R, x ³ a-5 }
    4) 3x² £ 7   { x Π R, |x| £  Ö(7/3) } o anche (parabola verso l'alto, valori interni:  { x Π R, -Ö(7/3) £ x £  +Ö(7/3) }
    5)  x² £ -4   non esistono soluzioni reali quandi l'insieme delle soluzioni reali è vuoto : {} o  Æ
        

B)  Determinare l'insieme dei valori del parametro k tali che siano verificate le condizioni a lato    Punti 4

    6) 3x² +4kx - k = 0       : le soluzioni siano reali e coincidenti  D=0 -->   b² - 4ac =0
             16k²+ 12k = 0
             4k(4k+3)=0   cioè k=0 o k=-3/4
               { k Π R, k = 0 o  x= - 3/4 }

    7) kx  = 5                      : le soluzioni siano tutte positive o nulle
                x = 5/K  sono le soluzioni, voglio che siano positive quindi
             5/k ³ 0  quindi { k Π R, k > 0 } (  nulle non si può ma la richiesta è appunto positive o nulle)

    8) kx²  + 5  = 0             :  la somma delle soluzioni valga 4
       la somma delle soluzioni in una eq. di II° si può esprimere come -b/a  che in questo caso vale 0/k; si vuole che valga 4:
il che non è possibile quindi non esistono valori di k che soddisfino la richiesta
    soluzione: {}

    9) kx²  - 5  = 0              : il prodotto delle soluzioni valga 2
         il prodotto delle soluzioni vale c/a ovvero -5/k =  2 e quindi { k Π R, k = -5/2 }


C) Confrontando con l'esercizio 1 risolvere i seguenti sistemi di dis/equazioni  (nel senso di rappresentare l'insieme soluzione del sistema)
         (x e k appartenenti a R) Punti 1
   

           ì  3x² +2x - 5 =0
10)      í
           î   2x²-5x+3  ³ 0

 la soluzione di questo sistema è l'insieme di valori che soddisfa entrambe le eq. ovvero la intersezione tra gli insiemi soluzione delle eq 1 e 2:
{ x Π R, x = 1 o  x= - 5/3 } Ç { x Π R, x £  1  o  x ³ 3/2 } =  { x Π R, x = 1 o  x= - 5/3 }

--------------X----------X--------------        (soluzioni che soddisfano la prima)
                  -5/3               1           3/2
XXXXXXXXXXXXXXX--------XXXXXXXXXXXXX (soluzioni che soddisfano la seconda)

---------------X---------X----------------   (soluzioni che soddisfano entrambe)


            ì  3x² £ 7
11)       í
            î   x² £ -4

    3x² £ 7 ha per soluzione  { x Π R, -Ö(7/3) £ x £  +Ö(7/3) }
     x² £ -4   ha per soluzione Æ
       l'intersezione tra questi due insiemi (ovvero l'insieme che contiene elementi presenti in entrambi gli insiemi) è ovviamente vuota:  Æ