I numeri razionali e i numeri reali
I numeri razionali e reali ampliano l’insieme dei numeri interi per includere frazioni e numeri non esprimibili con frazioni, come \( \pi \) o \( \sqrt{2} \). Sono fondamentali per descrivere quantità continue nella matematica e nelle scienze.
Indice
I numeri razionali
Definizione: Un numero razionale è un numero che può essere scritto nella forma
\[
\frac{a}{b}, \quad \text{con } a \in \mathbb{Z},\ b \in \mathbb{Z},\ b \ne 0
\]
L’insieme dei numeri razionali si indica con \( \mathbb{Q} \).
Ogni numero intero è anche un numero razionale (es. \( 5 = \frac{5}{1} \)).
Numeri decimali e frazioni
I numeri razionali possono essere rappresentati come numeri decimali, che si dividono in:
- decimali finiti (es. \( \frac{3}{4} = 0,75 \))
- decimali periodici (es. \( \frac{1}{3} = 0,\overline{3} \))
Ogni numero decimale finito o periodico è razionale.
I numeri reali
Definizione: I
numeri reali comprendono tutti i numeri rappresentabili su una retta continua. Si indicano con \( \mathbb{R} \) e includono:
- I numeri razionali \( \mathbb{Q} \)
- I numeri irrazionali (non scrivibili come frazione), come \( \sqrt{2}, \pi, e \)
I numeri irrazionali hanno una rappresentazione decimale infinita non periodica.
Esempi svolti
Esempio 1
Scrivere il numero \( \frac{7}{8} \) come numero decimale.
Soluzione: \( \frac{7}{8} = 0,875 \). È un decimale finito, quindi razionale.
Esempio 2
Il numero \( 0,666\ldots \) è razionale?
Soluzione: Sì. È un decimale periodico: \( 0,\overline{6} = \frac{2}{3} \).
Esempio 3
\( \sqrt{2} \) è un numero razionale?
Soluzione: No. È un numero irrazionale perché non si può scrivere come frazione.
Esercizi proposti
- (Facile) Indica se i seguenti numeri sono razionali o irrazionali:
- \( \frac{5}{2} \)
- \( 3,1416 \)
- \( \pi \)
- \( 0,\overline{81} \)
- \( \sqrt{25} \)
- (Medio) Trasforma i seguenti numeri periodici in frazioni:
- \( 0,\overline{3} \)
- \( 0,\overline{72} \)
- \( 1,2\overline{5} \)
- (Avanzato) Dimostra che \( \sqrt{2} \) non può essere scritto come una frazione tra due interi. (Suggerimento: per assurdo)
Approfondimenti
🌟 I numeri reali sulla retta
La retta reale è una rappresentazione geometrica di tutti i numeri reali. Ogni punto sulla retta corrisponde a un numero reale, inclusi sia i razionali che gli irrazionali.
Wikipedia – Numeri reali
📊 Differenza tra \( \mathbb{Q} \) e \( \mathbb{R} \)
\( \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \), ma ci sono numeri reali che non sono razionali. Questi sono gli irrazionali.
Esempi: \( \sqrt{3},\ \pi,\ e \).