Gli insiemi e la logica

Il linguaggio degli insiemi e della logica è alla base di tutta la matematica. Imparare a classificare elementi, usare simboli e costruire proposizioni logiche è fondamentale per ragionare in modo rigoroso.

Indice

• Concetto di insieme
• Operazioni tra insiemi
• Relazioni tra insiemi
• Elementi di logica
• Esempi svolti
• Esercizi proposti
• Approfondimenti

Concetto di insieme

Si indica un insieme con una lettera maiuscola e i suoi elementi tra parentesi graffe: ad esempio, \( A = \{1, 2, 3\} \).

Operazioni tra insiemi

• Unione: \( A \cup B \) – insieme degli elementi che appartengono ad almeno uno dei due.
• Intersezione: \( A \cap B \) – insieme degli elementi comuni a entrambi.
• Differenza: \( A - B \) – elementi di \( A \) che non sono in \( B \).
• Complementare: \( A^c \) – elementi non in \( A \) rispetto all’universo \( U \).

Relazioni tra insiemi

• \( x \in A \): l’elemento \( x \) appartiene all’insieme \( A \).
• \( A \subseteq B \): \( A \) è sottoinsieme di \( B \).
• \( A = B \): gli insiemi contengono esattamente gli stessi elementi.
• \( \varnothing \): l’insieme vuoto, che non contiene alcun elemento.

Elementi di logica

Le proposizioni possono essere combinate con connettivi logici:

• Negazione: \( \lnot p \)
• Coniunzione: \( p \land q \) – vero solo se entrambi sono veri
• Disgiunzione: \( p \lor q \) – vero se almeno uno è vero
• Implica: \( p \Rightarrow q \) – falso solo se \( p \) è vero e \( q \) è falso
• Doppia implicazione: \( p \Leftrightarrow q \)

Esempi svolti

Esempio 1

Siano \( A = \{1,2,3,4\} \) e \( B = \{3,4,5\} \). Calcola \( A \cup B \), \( A \cap B \) e \( A - B \).

Soluzione: \( A \cup B = \{1,2,3,4,5\} \)
\( A \cap B = \{3,4\} \)
\( A - B = \{1,2\} \)

Esempio 2

Verifica la verità della proposizione: “Se piove, allora le strade sono bagnate.”

Soluzione: È un’implicazione. È considerata falsa solo se piove ma le strade non sono bagnate.

Esercizi proposti

1. (Facile) Dati gli insiemi \( A = \{1,2,3\} \), \( B = \{3,4\} \), determina:
   • \( A \cup B \)
   • \( A \cap B \)
   • \( B - A \)
2. (Medio) Scrivi la tabella di verità per:
   • \( p \land q \)
   • \( p \lor q \)
   • \( p \Rightarrow q \)
3. (Avanzato) Dimostra che \( (p \Rightarrow q) \Leftrightarrow (\lnot p \lor q) \) è sempre vera usando una tabella di verità.

Approfondimenti