Le relazioni e le funzioni

Le relazioni e le funzioni ci permettono di descrivere legami tra insiemi e di modellare situazioni reali. Sono alla base del pensiero algebrico e della matematica delle scienze.

Indice

• Relazioni tra elementi di insiemi
• Funzioni come relazioni particolari
• Diagrammi e rappresentazioni
• Esempi svolti
• Esercizi proposti
• Approfondimenti

Relazioni tra elementi di insiemi

Una coppia ordinata \( (a,b) \in R \) significa che l’elemento \( a \) di \( A \) è in relazione con \( b \) di \( B \).

Ecco direttamente le proprietà chiave delle relazioni di equivalenza e delle relazioni d'ordine.

Relazione di Equivalenza

Una relazione $R\subseteq A\times A$ è di equivalenza se soddisfa queste tre proprietà:

1. Riflessiva:

2. Simmetrica:

3. Transitiva:

Le relazioni di equivalenza permettono di definire le classi di equivalenza e di suddividere l'insieme in partizioni.

Relazione d'Ordine

Una relazione $R\subseteq A\times A$ è di ordine se soddisfa queste tre proprietà:

1. Riflessiva:

2. Antisimmetrica:

3. Transitiva:

Se una relazione d'ordine è valida per ogni coppia di elementi (ossia presi due elementi qualunque, uno è sempre confrontabile con l'altro), si dice ordine totale (o lineare). Se invece esistono elementi non confrontabili tra loro, si parla di ordine parziale.

Confronto rapido

Funzioni come relazioni particolari

Se \( f: A \to B \) è una funzione, allora a ogni \( x \in A \) corrisponde un solo \( y = f(x) \in B \).

• \( A \): dominio della funzione
• \( B \): codominio
• \( f(x) \): immagine di \( x \)

Diagrammi e rappresentazioni

Una funzione può essere rappresentata in diversi modi:

• diagramma frecce: mostra come ogni elemento del dominio è collegato a un solo elemento del codominio
• tabella di valori: coppie \( (x, f(x)) \)
• grafico cartesiano: punti nel piano

Esempi svolti

Esempio 1

Sia \( f(x) = 2x + 1 \). Calcola \( f(0), f(2), f(-1) \).

Soluzione:

• \( f(0) = 2 \cdot 0 + 1 = 1 \)
• \( f(2) = 2 \cdot 2 + 1 = 5 \)
• \( f(-1) = 2 \cdot (-1) + 1 = -1 \)

Esempio 2

La relazione \( R = \{(1,2), (2,4), (3,6), (1,5)\} \) è una funzione?

Soluzione: No, perché l’elemento \( 1 \) del dominio è associato a due valori diversi: 2 e 5.

Esercizi proposti

1. (Facile) Considera la funzione \( f(x) = x^2 \). Calcola:
   • \( f(1) \)
   • \( f(3) \)
   • \( f(-2) \)
2. (Medio) Data la relazione \( R = \{(a,1), (b,2), (a,3)\} \), è una funzione?
3. (Avanzato) Disegna sul piano cartesiano il grafico della funzione \( f(x) = -x + 2 \) per \( x = -2, -1, 0, 1, 2 \).

Approfondimenti