I polinomi

I polinomi sono espressioni algebriche formate da una somma di monomi. Sono strumenti essenziali per modellare problemi e rappresentare relazioni matematiche.

Indice

• Definizione di polinomio
• Grado, termini e ordine
• Operazioni con i polinomi
• Esempi svolti
• Esercizi proposti
• Approfondimenti

Definizione di polinomio

Un polinomio può essere formato da:

• un solo termine → monomio
• due termini → binomio
• tre termini → trinomio

Grado, termini e ordine

• Termini: i singoli monomi che compongono il polinomio
• Grado di un termine: somma degli esponenti delle lettere
• Grado del polinomio: massimo grado dei suoi termini
• Polinomio ordinato: i termini sono scritti in ordine decrescente di grado

Esempio: \( P(x) = 4x^3 - 2x + 7 \) → grado 3

Operazioni con i polinomi

Somma e differenza

Si sommano o sottraggono i monomi simili, cioè con la stessa parte letterale.

Esempio: \[ (2x^2 + 3x - 1) + (x^2 - x + 4) = 3x^2 + 2x + 3 \]

Moltiplicazione

Si moltiplica ogni termine del primo polinomio per ogni termine del secondo.

Esempio: \[ (x + 2)(x - 3) = x^2 - 3x + 2x - 6 = x^2 - x - 6 \]

Prodotti notevoli

• \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
• \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)
• \( (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \)

Esempi svolti

Esempio 1

Semplifica: \( (3x^2 + 2x) - (x^2 - 5x) \)

Soluzione: \( 3x^2 + 2x - x^2 + 5x = 2x^2 + 7x \)

Esempio 2

Calcola il prodotto \( (x + 1)^2 \)

Soluzione: \( x^2 + 2x + 1 \)

Esempio 3

Individua grado e termini del polinomio \( -2x^3 + 4x^2 - x + 6 \)

Soluzione: Grado 3, termini: \( -2x^3 \), \( 4x^2 \), \( -x \), \( 6 \)

Esercizi proposti

1. (Facile) Calcola:
   • \( (2x^2 + x) + (x^2 - 3x) \)
   • \( (4a - 5) - (2a + 3) \)
2. (Medio) Svolgi:
   • \( (x - 2)(x + 5) \)
   • \( (2x - 1)^2 \)
3. (Avanzato) Semplifica: \[ (x + 3)^2 - (x - 3)^2 \]

Approfondimenti