Le frazioni algebriche

Le frazioni algebriche estendono il concetto di frazione a espressioni con lettere. Sono fondamentali per semplificazioni, risoluzioni di equazioni e razionalizzazioni.

Indice

• Definizione e dominio
• Semplificazione di frazioni algebriche
• Operazioni con frazioni algebriche
• Esempi svolti
• Esercizi proposti
• Approfondimenti

Definizione e dominio

Il dominio di una frazione algebrica è l’insieme dei valori che rendono il denominatore diverso da zero.

Esempio: \( \frac{x + 2}{x - 3} \) è definita per \( x \neq 3 \)

Semplificazione di frazioni algebriche

Si effettua la scomposizione in fattori del numeratore e del denominatore e si eliminano eventuali fattori comuni.

Esempio: \[ \frac{x^2 - 9}{x^2 - x - 6} = \frac{(x - 3)(x + 3)}{(x - 3)(x + 2)} = \frac{x + 3}{x + 2}, \quad x \neq 3 \]

Operazioni con frazioni algebriche

Somma e differenza

Occorre portare le frazioni allo stesso denominatore.

Esempio: \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1} = \frac{(x + 1) + x}{x(x + 1)} = \frac{2x + 1}{x(x + 1)} \]

Moltiplicazione e divisione

Moltiplica i numeratori e i denominatori tra loro, semplificando se possibile.

Esempio: \[ \frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}, \quad x \neq -1 \]

Esempi svolti

Esempio 1

Semplifica \( \frac{x^2 - 4}{x^2 - 2x} \)

Soluzione: \[ \frac{(x - 2)(x + 2)}{x(x - 2)} = \frac{x + 2}{x}, \quad x \neq 0,\ x \neq 2 \]

Esempio 2

Calcola \( \frac{2}{x} + \frac{3}{x} \)

Soluzione: \( \frac{5}{x},\ x \neq 0 \)

Esempio 3

Calcola \( \frac{x^2 - 1}{x^2 + x} \cdot \frac{x}{x - 1} \)

Soluzione: \[ \frac{(x - 1)(x + 1)}{x(x + 1)} \cdot \frac{x}{x - 1} = 1, \quad x \neq -1,\ x \neq 0,\ x \neq 1 \]

Esercizi proposti

1. (Facile) Semplifica:
   • \( \frac{x^2 - 1}{x - 1} \)
   • \( \frac{3x}{6x^2} \)
2. (Medio) Calcola:
   • \( \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 2} \)
   • \( \frac{2x}{x^2 - 4} + \frac{1}{x - 2} \)
3. (Avanzato) Esegui e semplifica: \[ \left(\frac{x^2 - 4}{x^2 - x - 2}\right) \cdot \left(\frac{x - 1}{x + 2}\right) \]

Approfondimenti