Le disequazioni lineari
Le disequazioni lineari sono espressioni in cui compare un'incognita con grado 1, legata da un simbolo di disuguaglianza. Studiarle ci permette di comprendere e risolvere problemi con vincoli.
Indice
Definizione di disequazione lineare
Definizione: Una disequazione lineare è una disuguaglianza del tipo:
\[
ax + b \ < \ \text{o} \ \leq \ \text{o} \ > \ \text{o} \ \geq \ 0
\]
con \( a \neq 0 \)
Principi di equivalenza
- Si può sommare o sottrarre lo stesso numero da entrambi i membri
- Si può moltiplicare o dividere per uno stesso numero **positivo**
- Se si moltiplica o divide per un numero **negativo**, bisogna **invertire il verso** della disuguaglianza
Metodo di risoluzione
- Trasporta tutti i termini con l’incognita a sinistra
- Isola l’incognita
- Fai attenzione al segno quando moltiplichi o dividi
- Rappresenta graficamente la soluzione
Rappresentazione su retta
Si rappresenta la soluzione su una retta orientata:
- Un pallino pieno indica inclusione (≤ o ≥)
- Un pallino vuoto indica esclusione (< o >)
- Si disegna una freccia per indicare l’intervallo
Esempi svolti
Esempio 1
Risolvi \( 2x - 3 < 7 \)
Soluzione:
\[
2x < 10 \Rightarrow x < 5
\]
Esempio 2
Risolvi \( -3x + 1 \geq 7 \)
Soluzione:
\[
-3x \geq 6 \Rightarrow x \leq -2
\]
Esempio 3
Risolvi \( \frac{x - 1}{2} > \frac{2x + 3}{4} \)
Soluzione:
\[
2(x - 1) > (2x + 3) \Rightarrow 2x - 2 > 2x + 3 \Rightarrow -2 > 3 \Rightarrow \text{nessuna soluzione}
\]
Esercizi proposti
- (Facile) Risolvi:
- \( x + 3 < 10 \)
- \( 5x \geq 15 \)
- \( -2x \leq 6 \)
- (Medio) Risolvi:
- \( 3x - 4 > 2x + 1 \)
- \( \frac{2x + 1}{3} \leq x - 2 \)
- (Avanzato) Trova la soluzione della disequazione e rappresentala su una retta:
\[
\frac{5 - x}{2} > \frac{2x + 1}{4}
\]
Approfondimenti
📌 Soluzioni impossibili o indeterminate
Come per le equazioni, anche una disequazione può non avere soluzione oppure essere verificata da tutti i numeri reali.
- \( 0 < 0 \): nessuna soluzione
- \( 5 > 3 \): sempre vera → tutte le \( x \in \mathbb{R} \)
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