Triangoli

Il triangolo è il poligono più semplice e fondamentale della geometria. Le sue proprietà sono alla base di molti teoremi e costruzioni geometriche.

Indice

• Classificazione dei triangoli
• Proprietà fondamentali
• Elementi notevoli
• Teoremi importanti
• Esempi svolti
• Esercizi proposti
• Approfondimenti

Classificazione dei triangoli

Per lati:

• Equilatero: tutti i lati e angoli uguali (\(60^\circ\))
• Isoscele: due lati e due angoli uguali
• Scaleno: tutti i lati e angoli diversi

Per angoli:

• Acutangolo: tutti gli angoli < \(90^\circ\)
• Rettangolo: un angolo \( = 90^\circ \)
• Ottusangolo: un angolo > \(90^\circ\)

Proprietà fondamentali

• La somma degli angoli interni è sempre \(180^\circ\)
• In un triangolo isoscele, gli angoli alla base sono congruenti
• Nel triangolo rettangolo vale il teorema di Pitagora

Elementi notevoli

• Altezza: segmento perpendicolare dal vertice al lato opposto
• Mediana: segmento dal vertice al punto medio del lato opposto
• Bisettrice: divide l’angolo in due parti uguali
• Ortocentro: punto d’incontro delle altezze
• Baricentro: punto d’incontro delle mediane
• Incentro: punto d’incontro delle bisettrici
• Circocentro: punto d’incontro degli assi

Teoremi importanti

• Teorema dell’isoceles: in un triangolo isoscele, gli angoli alla base sono uguali
• Teorema della somma degli angoli: \(\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ\)
• Teorema di Pitagora: in un triangolo rettangolo: \[ a^2 + b^2 = c^2 \] dove \( c \) è l’ipotenusa

Esempi svolti

Esempio 1

Un triangolo ha due angoli di \( 40^\circ \). Quanto misura il terzo?

Soluzione: \( 180^\circ - 40^\circ - 40^\circ = 100^\circ \)

Esempio 2

In un triangolo rettangolo con cateti \( a = 3 \), \( b = 4 \), trova l’ipotenusa.

Soluzione: \[ c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]

Esercizi proposti

1. (Facile) Calcola il terzo angolo di un triangolo con due angoli di \( 60^\circ \).
2. (Medio) In un triangolo rettangolo con un cateto \( = 5 \) e ipotenusa \( = 13 \), calcola l’altro cateto.
3. (Avanzato) In un triangolo isoscele, l’angolo al vertice misura \( 30^\circ \). Calcola gli angoli alla base e rappresentalo con GeoGebra.

Approfondimenti