Espressioni con potenze e radicali
Questo capitolo ti guida nella risoluzione di espressioni complesse contenenti potenze e radicali, usando in modo integrato tutte le proprietà algebriche viste finora.
Indice
Strategie di calcolo
- Applica le proprietà delle potenze: somma, differenza, potenza di potenza
- Riduci i radicali scomponendo il radicando
- Razionalizza i denominatori se necessario
- Usa le potenze con esponenti frazionari per riscrivere i radicali
Ordine delle operazioni
Come sempre, si segue la gerarchia operativa:
- Parentesi tonde, quadre, graffe
- Potenze e radici
- Moltiplicazioni e divisioni
- Addizioni e sottrazioni
Esempi svolti
Esempio 1
Semplifica: \( 2^3 + 3 \cdot \sqrt{25} \)
Soluzione: \( 8 + 3 \cdot 5 = 8 + 15 = 23 \)
Esempio 2
Calcola: \( \frac{4^3}{2^4} \)
Soluzione: \( \frac{64}{16} = 4 \)
Esempio 3
Semplifica: \( \sqrt{18} + \sqrt{8} \)
Soluzione:
\[
3\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 5\sqrt{2}
\]
Esempio 4
Razionalizza e semplifica: \( \frac{1}{\sqrt{2} + 1} \)
Soluzione:
\[
\frac{1}{\sqrt{2} + 1} \cdot \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} - 1} =
\frac{\sqrt{2} - 1}{2 - 1} = \sqrt{2} - 1
\]
Esercizi proposti
- (Facile)
- Calcola: \( 3^2 + \sqrt{36} \)
- Semplifica: \( \sqrt{4 \cdot 9} \)
- (Medio)
- Razionalizza: \( \frac{5}{\sqrt{3}} \)
- Semplifica: \( \sqrt{50} + \sqrt{18} \)
- (Avanzato)
- Semplifica:
\[
\frac{2\sqrt{8} - \sqrt{2}}{\sqrt{2}}
\]
- Svolgi e semplifica:
\[
\left( \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{8}} \right)^2
\]
Approfondimenti
🔍 Espressioni con potenze a esponente frazionario
\[
a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}, \quad a^{\frac{3}{2}} = a \cdot \sqrt{a}, \quad a^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{a^2}
\]
L’uso degli esponenti frazionari può rendere più veloci i calcoli.
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