Le disequazioni sono disuguaglianze che coinvolgono variabili. Con gli strumenti algebrici visti finora possiamo affrontare disequazioni di grado superiore, irrazionali e sistemi di disequazioni.
Si trasformano in forma canonica: \[ ax^n + bx^{n-1} + \dots \geq 0 \] Si scompone e si costruisce la tabella dei segni dei fattori.
La disequazione contiene una frazione con polinomi:
\[ \frac{x - 1}{x + 2} > 0 \]Possono contenere espressioni come \( \sqrt{x + 1} \geq 2 \)
Procedura:
Due o più disequazioni che devono valere contemporaneamente:
\[ \begin{cases} x^2 - 4 \geq 0 \\ x - 1 > 0 \end{cases} \]Si risolvono singolarmente e si fa l’intersezione dei risultati.
Scomposizione: \( (x - 1)(x - 3) > 0 \)
Soluzione: \( x < 1 \) oppure \( x > 3 \)
Numeratore nullo per \( x = -1 \), denominatore nullo per \( x = 2 \)
Soluzione: \( -1 \leq x < 2 \)
Condizione: \( x - 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2 \)
Disequazione: \( x - 2 \leq 9 \Rightarrow x \leq 11 \)
Soluzione: \( 2 \leq x \leq 11 \)
La disequazione \( f(x) > 0 \) significa “dove il grafico di \( f(x) \) sta sopra l’asse x”. La rappresentazione grafica aiuta a capire rapidamente il segno della funzione.