Probabilità
La probabilità misura quanto è probabile che un evento si verifichi. È uno strumento fondamentale in matematica, scienza, economia e vita quotidiana.
Indice
Definizione classica
\[
P(A) = \frac{\text{numero di casi favorevoli}}{\text{numero di casi possibili}}
\]
con \( 0 \leq P(A) \leq 1 \)
Se tutti i casi sono equiprobabili, la probabilità è una frazione tra 0 e 1. Se \( P(A) = 1 \), l’evento è certo; se \( P(A) = 0 \), è impossibile.
Tipi di eventi
- Semplice: un solo risultato (es. "esce 4")
- Composto: un insieme di risultati (es. "esce numero pari")
- Certo: si verifica sempre
- Impossibile: non si verifica mai
- Incompatibili: non possono verificarsi insieme
- Complementari: uno è il contrario dell'altro
Regole della probabilità
- \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) \) se \( A \) e \( B \) sono incompatibili
- \( P(\text{complementare di } A) = 1 - P(A) \)
- La somma delle probabilità di tutti gli eventi possibili = 1
Diagrammi e rappresentazioni
I diagrammi di Eulero-Venn aiutano a visualizzare eventi, intersezioni, unioni e complementari.
Si può anche usare una tabella dei casi possibili o un albero delle scelte per eventi successivi.
Esempi svolti
Esempio 1
Si lancia un dado. Qual è la probabilità di ottenere un numero pari?
Soluzione: I numeri pari sono 3 su 6 → \( P = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)
Esempio 2
In un sacchetto ci sono 3 palline rosse e 2 blu. Qual è la probabilità di estrarre una blu?
\[
P = \frac{2}{5}
\]
Esempio 3
Qual è la probabilità di NON ottenere testa lanciando una moneta?
\[
P(\text{testa}) = \frac{1}{2} \Rightarrow P(\text{non testa}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}
\]
Esercizi proposti
- (Facile)
- Lancio di un dado: probabilità che esca 1
- Probabilità che esca un numero maggiore di 4
- (Medio)
- In una urna ci sono 2 palline rosse, 3 verdi e 5 gialle. Qual è la probabilità di estrarre una rossa o una verde?
- Lancio di due dadi: probabilità che la somma sia 7
- (Avanzato)
- Un mazzo di 40 carte italiane. Qual è la probabilità di pescare un asso o una carta di coppe?
- Due estrazioni successive senza reinserimento da una urna con 5 palline numerate da 1 a 5: probabilità che la somma sia pari
Approfondimenti
🎯 Probabilità frequentista
Definita come rapporto tra il numero di volte che un evento si è verificato e il numero totale di prove. Più prove → più la stima si avvicina alla probabilità teorica.
🔗 Link utili