Aree, Euclide e Pitagora

In questo capitolo riprendiamo le formule per il calcolo dell’area e scopriamo i teoremi di Pitagora ed Euclide, fondamentali nella geometria dei triangoli rettangoli.

Indice

• Formule fondamentali per le aree
• Il Teorema di Pitagora
• I Teoremi di Euclide
• Applicazioni geometriche
• Esempi svolti
• Esercizi proposti

Formule fondamentali per le aree

• Triangolo: \[ A = \frac{b \cdot h}{2} \]
• Rettangolo: \[ A = b \cdot h \]
• Quadrato: \[ A = l^2 \]
• Parallelogramma: \[ A = b \cdot h \]
• Trapezio: \[ A = \frac{(B + b) \cdot h}{2} \]
• Cerchio: \[ A = \pi r^2 \]

Il Teorema di Pitagora

Questo teorema permette di calcolare la lunghezza di un lato in un triangolo rettangolo.

I Teoremi di Euclide

• 1° teorema di Euclide: In un triangolo rettangolo, il quadrato costruito su un cateto è uguale al prodotto dell’ipotenusa per la proiezione del cateto sull’ipotenusa: \[ a^2 = c \cdot p_a \]
• 2° teorema di Euclide: Il quadrato sull’altezza relativa all’ipotenusa è uguale al prodotto delle proiezioni dei due cateti: \[ h^2 = p_a \cdot p_b \]

Applicazioni geometriche

• Calcolo di lati incogniti
• Verifica se un triangolo è rettangolo
• Problemi con poligoni costruiti in o su figure più grandi
• Scomposizione di figure in triangoli

Esempi svolti

Esempio 1 – Pitagora

In un triangolo rettangolo con cateti \( a = 6 \) cm e \( b = 8 \) cm, calcola l’ipotenusa.

Soluzione: \[ c^2 = 36 + 64 = 100 \Rightarrow c = 10\ \text{cm} \]

Esempio 2 – Euclide

In un triangolo rettangolo, l’ipotenusa misura \( 13 \) cm e la proiezione di un cateto è \( 5 \) cm. Calcola il cateto.

Soluzione: \[ a^2 = 13 \cdot 5 \Rightarrow a = \sqrt{65} \]

Esercizi proposti

1. (Facile)
   • Calcola l’area di un triangolo con base 10 cm e altezza 6 cm
   • Applica Pitagora per trovare l’ipotenusa di un triangolo con cateti 3 e 4
2. (Medio)
   • Un triangolo rettangolo ha un cateto lungo 12 cm e l’ipotenusa lunga 13 cm. Calcola il secondo cateto
   • In un triangolo rettangolo, l’altezza relativa all’ipotenusa è 6 cm e una proiezione è 4 cm. Trova l’altra proiezione
3. (Avanzato)
   • In un quadrato di lato 10 cm, disegna un triangolo rettangolo isoscele. Calcola area e ipotenusa
   • Una figura composta da due triangoli rettangoli ha cateti in comune. Usa Euclide per determinare un’altezza mancante

Approfondimenti