Equazioni e disequazioni

Le equazioni e le disequazioni sono strumenti fondamentali per modellare problemi e analizzare situazioni reali. In questo capitolo studiamo casi più generali: con parametri, frazioni, valore assoluto.

Indice

• Equazioni con parametro
• Equazioni fratte
• Equazioni e disequazioni con valore assoluto
• Disequazioni composte
• Esempi svolti
• Esercizi proposti

Equazioni con parametro

Contengono una lettera che rappresenta un valore incognito (parametro):

Si risolvono studiando i casi in base al parametro:

• Se \( a \ne 2 \), equazione determinata
• Se \( a = 2 \), diventa impossibile: \( 0x = 4 \)

Equazioni fratte

Contengono frazioni algebriche:

Attenzione al **dominio**: i valori che rendono nullo il denominatore vanno esclusi.

Equazioni e disequazioni con valore assoluto

Il valore assoluto rende positivo ogni espressione. Risolviamo separando in due casi:

Disequazioni composte

Contengono due o più condizioni collegate da AND (∧) o OR (∨):

Si risolvono con studio dei segni e rappresentazione su retta numerica.

Esempi svolti

Esempio 1 – Equazione con parametro

Risolvi \( (a - 1)x = a \)

Soluzione:

• Se \( a \ne 1 \), \( x = \frac{a}{a - 1} \)
• Se \( a = 1 \), \( 0x = 1 \): impossibile

Esempio 2 – Equazione fratta

Soluzione: Dominio: \( x \ne 1 \). Moltiplico: \( x + 2 = x - 1 \Rightarrow 2 = -1 \): impossibile

Esempio 3 – Disequazione con valore assoluto

Soluzione:

Esercizi proposti

1. (Facile)
   • \( |x + 4| = 6 \)
   • \( \frac{2x}{x + 3} = 1 \)
2. (Medio)
   • Trova i valori di \( a \) per cui l’equazione \( (a - 2)x = 4 \) ha:
     – una sola soluzione / nessuna soluzione / infinite soluzioni
   • Risolvi \( |x - 1| \geq 3 \)
3. (Avanzato)
   • Risolvi \( \frac{x^2 - 1}{x + 2} > 0 \)
   • Trova i valori di \( a \) per cui \( \frac{ax - 2}{x - 1} = a \) ha una sola soluzione

Approfondimenti