Funzioni
Il concetto di funzione è centrale in tutta la matematica: rappresenta la relazione tra due variabili, e permette di modellare fenomeni, analizzare cambiamenti e costruire grafici.
Indice
Definizione e notazione
Una funzione è una relazione che associa a ogni elemento \( x \) di un insieme \( D \) (dominio), uno e un solo valore \( y = f(x) \).
Scriviamo: \( f: D \rightarrow \mathbb{R} \), con \( x \mapsto f(x) \).
Dominio: insieme dei valori ammessi per \( x \).
Codominio: insieme dei possibili valori di uscita.
Classificazione delle funzioni
- Funzioni algebriche:
- Razionali intere: \( f(x) = x^2 - 3x + 2 \)
- Razionali fratte: \( f(x) = \frac{1}{x+1} \)
- Irrazionali: \( f(x) = \sqrt{x+2} \)
- Funzioni trascendenti:
- Esponenziali: \( f(x) = 2^x \)
- Logaritmiche: \( f(x) = \log x \)
- Trigonometriche: \( f(x) = \sin x \), \( \cos x \), \( \tan x \)
Caratteristiche principali
- Dominio \( D_f \)
- Segno della funzione (positiva/negativa)
- Zeri: punti in cui \( f(x) = 0 \)
- Intersezioni con assi \( x, y \)
- Monotonia: crescente, decrescente
- Pari o dispari:
\[
f(-x) = f(x) \Rightarrow \text{pari},\quad f(-x) = -f(x) \Rightarrow \text{dispari}
\]
- Periodicità:
\[
f(x + T) = f(x)
\]
(es. seno, coseno)
- Asintoti (orizzontali, verticali, obliqui)
Grafico e rappresentazione
Il grafico di una funzione è l’insieme dei punti \( (x, f(x)) \) nel piano cartesiano.
Si possono usare strumenti digitali per visualizzarlo: GeoGebra, Desmos.
Esempi di funzioni notevoli
- Identica: \( f(x) = x \)
- Quadratica: \( f(x) = x^2 \)
- Reciproca: \( f(x) = \frac{1}{x} \)
- Radice quadrata: \( f(x) = \sqrt{x} \)
- Valore assoluto: \( f(x) = |x| \)
- Funzione a tratti:
\[
f(x) = \begin{cases}
-x & x < 0 \\
x & x \geq 0
\end{cases}
\]
Esercizi proposti
- (Facile)
- Determina dominio e codominio di \( f(x) = x^2 - 1 \)
- È pari, dispari o né l’uno né l’altro? \( f(x) = x^3 + 2x \)
- (Medio)
- Studia e rappresenta graficamente \( f(x) = \frac{1}{x - 1} \)
- Verifica la periodicità di \( f(x) = \sin(x) \)
- (Avanzato)
- Costruisci una funzione definita a tratti con diverse espressioni
- Trova gli asintoti di \( f(x) = \frac{2x^2 + 1}{x - 3} \)
Approfondimenti
📐 Funzioni e modellizzazione
Ogni fenomeno naturale può essere descritto da una funzione: velocità, crescita, decadimento, onde, prezzi... Comprendere le funzioni significa capire il mondo che cambia.
🔗 Link utili