Successioni e progressioni
Le successioni sono liste ordinate di numeri, spesso legate da una regola precisa. Le progressioni sono casi particolari con struttura regolare: aritmetica o geometrica.
Indice
Successioni: definizione e notazione
Una successione è una funzione definita su \( \mathbb{N} \):
\[
a_n \text{ con } n \in \mathbb{N},\quad a_1,\ a_2,\ a_3,\ \dots
\]
Può essere definita:
- Esplicitamente: con formula diretta (es. \( a_n = 2n + 1 \))
- Ricorsivamente: con riferimento ai termini precedenti (es. \( a_1 = 1,\ a_{n+1} = a_n + 3 \))
Progressione aritmetica
Ogni termine si ottiene sommando una quantità fissa \( d \):
\[
a_n = a_1 + (n - 1)d
\]
Somma dei primi \( n \) termini:
\[
S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)
\]
Progressione geometrica
Ogni termine si ottiene moltiplicando il precedente per una quantità fissa \( q \):
\[
a_n = a_1 \cdot q^{n-1}
\]
Somma dei primi \( n \) termini (se \( q \ne 1 \)):
\[
S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}
\]
Tendenza e limite
Le successioni possono tendere a un valore (finito o infinito):
- \( a_n = \frac{1}{n} \Rightarrow \lim a_n = 0 \)
- \( a_n = 2^n \Rightarrow \lim a_n = +\infty \)
Si parla anche di successioni monotone, limitate, divergenti.
Esempi svolti
Esempio 1 – Progressione aritmetica
\( a_1 = 5 \), \( d = 3 \). Trova \( a_{10} \)
\[
a_{10} = 5 + (10 - 1)\cdot 3 = 5 + 27 = 32
\]
Esempio 2 – Somma aritmetica
\p>Calcola la somma dei primi 10 termini della successione sopra.
\[
S_{10} = \frac{10}{2}(5 + 32) = 5 \cdot 37 = 185
\]
Esempio 3 – Progressione geometrica
\( a_1 = 2 \), \( q = 3 \). Trova \( a_5 \)
\[
a_5 = 2 \cdot 3^4 = 2 \cdot 81 = 162
\]
Esempio 4 – Successione ricorsiva
\( a_1 = 1,\ a_{n+1} = a_n + 2 \) → \( a_2 = 3,\ a_3 = 5,\ a_4 = 7, \dots \)
Esercizi proposti
- (Facile)
- Scrivi i primi 5 termini di \( a_n = 3n + 2 \)
- Determina se \( a_n = (-1)^n \cdot n \) è limitata
- (Medio)
- In una P.G. con \( a_1 = 5 \), \( q = 2 \), trova \( a_6 \) e \( S_6 \)
- Trova \( a_n \) in una P.A. con \( a_3 = 10 \), \( d = 4 \)
- (Avanzato)
- Dimostra che \( a_n = \frac{n}{n+1} \) è crescente e limitata
- Studia il limite della successione \( a_n = \frac{(-1)^n}{n} \)
Approfondimenti
🌀 Successioni famose
La successione di Fibonacci: \( F_1 = 1,\ F_2 = 1,\ F_n = F_{n-1} + F_{n-2} \).
Compare in natura, arte e finanza.
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