Piano cartesiano e retta
Il piano cartesiano permette di rappresentare graficamente punti, funzioni e figure geometriche. La retta è l’elemento fondamentale della geometria analitica.
Indice
Il piano cartesiano
Il piano cartesiano è formato da due assi perpendicolari: l’asse \( x \) (ascisse) e l’asse \( y \) (ordinate).
Ogni punto è identificato da una coppia ordinata \( (x, y) \).
Distanza tra due punti
Data \( A(x_1, y_1) \) e \( B(x_2, y_2) \), la distanza è:
\[
AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
\]
Coefficiente angolare
Il coefficiente angolare \( m \) di una retta che passa per due punti è:
\[
m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
\]
Rappresenta l’inclinazione della retta rispetto all’asse \( x \).
Equazioni della retta
- Esplicita (forma nota):
\[
y = mx + q
\]
dove \( m \) è il coefficiente angolare e \( q \) l’intercetta sull’asse \( y \).
- Forma implicita:
\[
ax + by + c = 0
\]
- Forma punto-pendenza:
\[
y - y_1 = m(x - x_1)
\]
Posizioni relative tra rette
- Parallele: se hanno stesso \( m \)
- Perpendicolari: se \( m_1 \cdot m_2 = -1 \)
- Coincidenti: se hanno stessa equazione
- Incidenti: se si incontrano in un punto
Esempi svolti
Esempio 1 – Distanza
Trova la distanza tra \( A(1, 2) \) e \( B(4, 6) \)
\[
AB = \sqrt{(4 - 1)^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
\]
Esempio 2 – Equazione della retta
Trova l’equazione della retta passante per \( (2, 1) \) e \( (4, 5) \)
\[
m = \frac{5 - 1}{4 - 2} = 2 \quad \Rightarrow \quad y - 1 = 2(x - 2) \Rightarrow y = 2x - 3
\]
Esempio 3 – Posizioni relative
Le rette \( y = 2x + 1 \) e \( y = -\frac{1}{2}x + 4 \) sono perpendicolari?
\[
m_1 \cdot m_2 = 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -1 \Rightarrow \text{Sì!}
\]
Esercizi proposti
- (Facile)
- Scrivi l’equazione di una retta con \( m = 3 \) e \( q = -1 \)
- Trova il coefficiente angolare della retta tra \( A(0, 0) \) e \( B(2, 6) \)
- (Medio)
- Trova l’equazione della retta passante per \( (1, 2) \) e \( (3, 6) \)
- Verifica se \( y = -x + 4 \) e \( x + y = 5 \) sono perpendicolari
- (Avanzato)
- Determina il punto di intersezione tra \( y = 2x - 3 \) e \( y = -x + 5 \)
- Trova l’equazione della retta perpendicolare a \( y = \frac{3}{2}x + 1 \) che passa per \( (4, -1) \)
Approfondimenti
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