Le coniche – Approccio sintetico
Un approccio classico e geometrico alle coniche: parabola, ellisse, iperbole. Le studiamo come luoghi geometrici, secondo la definizione antica di Apollonio di Perga.
Indice
Definizione sintetica delle coniche
Una conica è il luogo geometrico dei punti che soddisfano una certa condizione rispetto a punti fissi (fuochi) e rette fisse (direttrici).
Possono anche essere ottenute come intersezione tra un piano e un cono a due falde.
Parabola: fuoco e direttrice
Una parabola è il luogo dei punti equidistanti da un punto fisso (fuoco \( F \)) e da una retta fissa (direttrice \( d \)).
\[
PF = PD
\]
Ha un solo fuoco, un asse di simmetria, ed è simmetrica rispetto a una retta verticale.
Ellisse: somma delle distanze
L’ellisse è il luogo dei punti tali che la somma delle distanze da due fuochi \( F_1 \) e \( F_2 \) è costante:
\[
PF_1 + PF_2 = 2a
\]
La forma è ovale, chiusa, simmetrica rispetto a entrambi gli assi. Il segmento \( F_1F_2 \) è detto asse focale.
Iperbole: differenza delle distanze
L’iperbole è il luogo dei punti tali che la differenza assoluta delle distanze dai due fuochi è costante:
\[
|PF_1 - PF_2| = 2a
\]
Ha due rami aperti e due asintoti, simmetria centrale rispetto al centro dell’iperbole.
Proprietà riflettenti
- 📡 Una parabola riflette ogni raggio parallelo al suo asse verso il fuoco (antenne, fari, satelliti)
- 🎯 In un’ellisse, un raggio partito da un fuoco si riflette sull’altro (effetto “eco ellittico”)
- ⚡ Nell’iperbole, i prolungamenti dei raggi sembrano provenire da uno dei due fuochi
Approfondimenti e storia
📜 Le coniche da Apollonio a Cartesio
Le coniche furono studiate in modo sistematico da Apollonio di Perga (III sec. a.C.), che le classificò come sezioni del cono.
Più tardi, con Cartesio e Fermat (XVII sec.), furono tradotte in equazioni nel piano.
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