Esponenziali e logaritmi
Le funzioni esponenziali e logaritmiche sono tra le più importanti in matematica. Modellano crescita, decadimento, fenomeni fisici e biologici. Sono funzioni inverse tra loro.
Indice
Funzione esponenziale
Una funzione del tipo
\[
f(x) = a^x, \quad a > 0,\ a \ne 1
\]
si chiama esponenziale.
- Se \( a > 1 \): funzione crescente
- Se \( 0 < a < 1 \): funzione decrescente
- Interseca l’asse \( y \) in \( (0, 1) \)
- Asintoto orizzontale: \( y = 0 \)
Funzione logaritmica
Il logaritmo in base \( a \) di un numero \( x > 0 \) è l’esponente a cui bisogna elevare \( a \) per ottenere \( x \):
\[
\log_a x = y \Leftrightarrow a^y = x
\]
È la funzione inversa dell’esponenziale:
\[
f(x) = \log_a x
\]
- Dominio: \( x > 0 \)
- Interseca l’asse \( x \) in \( (1, 0) \)
- Asintoto verticale: \( x = 0 \)
Proprietà dei logaritmi
- \( \log_a(xy) = \log_a x + \log_a y \)
- \( \log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y \)
- \( \log_a(x^n) = n \log_a x \)
- \( \log_a a = 1 \), \( \log_a 1 = 0 \)
- Cambio di base:
\[
\log_b x = \frac{\log_a x}{\log_a b}
\]
Equazioni esponenziali e logaritmiche
- Esponenziali: porta tutto con la stessa base
\[
3^x = 3^4 \Rightarrow x = 4
\]
- Logaritmiche: sfrutta la definizione inversa
\[
\log_2 x = 5 \Rightarrow x = 2^5 = 32
\]
- Controlla sempre il dominio!
Esempi svolti
Esempio 1 – Funzione esponenziale
Studia \( f(x) = 2^x \)
È crescente, passa per \( (0,1) \), ha asintoto \( y=0 \)
Esempio 2 – Funzione logaritmica
Studia \( f(x) = \log_2 x \)
È crescente, passa per \( (1,0) \), ha asintoto \( x=0 \)
Esempio 3 – Equazione esponenziale
\[
2^{x+1} = 8 \Rightarrow 2^{x+1} = 2^3 \Rightarrow x+1 = 3 \Rightarrow x = 2
\]
Esempio 4 – Equazione logaritmica
\[
\log_3(x - 1) = 2 \Rightarrow x - 1 = 3^2 = 9 \Rightarrow x = 10
\]
Esercizi proposti
- (Facile)
- Calcola \( \log_2 8 \)
- Risolvi \( 10^x = 1000 \)
- (Medio)
- Risolvi \( \log_5(x+2) = 3 \)
- Studia il grafico di \( f(x) = 3^{-x} \)
- (Avanzato)
- Risolvi \( \log_2(x^2 - 1) = 3 \)
- Verifica che \( \log_a b = \frac{1}{\log_b a} \)
Approfondimenti
🌱 Applicazioni reali
- **Esponenziali**: crescita batterica, interessi composti, epidemie
- **Logaritmi**: scala Richter, decibel, pH, tempo di decadimento
🔗 GeoGebra e risorse
ESPONENZIALI:
LOGARITMI: