Statistica e calcolo approssimato
La statistica descrittiva ci permette di raccogliere, organizzare e analizzare dati. Il calcolo approssimato ci aiuta a gestire i numeri reali nella pratica.
Indice
1. Statistica descrittiva
Studia insiemi di dati numerici (popolazione, campione). Si raccolgono i dati e si organizzano in tabelle di frequenza:
- Frequenza assoluta: numero di volte che compare un dato
- Frequenza relativa: \( f_i = \frac{n_i}{n} \)
- Frequenza cumulata: somma progressiva delle frequenze
2. Indicatori di posizione e dispersione
- Media aritmetica:
\[
\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}
\]
- Moda: valore che compare più spesso
- Mediana: valore centrale (dopo aver ordinato)
- Range: differenza tra massimo e minimo
- Varianza:
\[
\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum (x_i - \bar{x})^2
\]
- Deviazione standard:
\[
\sigma = \sqrt{\sigma^2}
\]
3. Grafici e rappresentazioni
- 📊 Istogramma: per dati raggruppati in classi
- 📈 Poligono delle frequenze: linee che uniscono i punti medi
- 🟠 Diagramma a torta: per rappresentare percentuali
- 📍 Diagramma a dispersione: coppie \( (x, y) \) nel piano cartesiano
4. Calcolo approssimato ed errori
- Errore assoluto:
\[
\varepsilon = |x_{\text{vero}} - x_{\text{misurato}}|
\]
- Errore relativo:
\[
\varepsilon_r = \frac{\varepsilon}{|x_{\text{vero}}|}
\]
- Approssimazione per eccesso o difetto (arrotondamento)
- Numero significativo: cifra nota con affidabilità sperimentale
5. Esempi svolti
Esempio 1 – Media e moda
Dati: 4, 6, 6, 8, 10
- Media: \( \bar{x} = \frac{34}{5} = 6.8 \)
- Moda: 6
Esempio 2 – Varianza e deviazione
Stessi dati. Calcola varianza:
\[
\sigma^2 = \frac{1}{5}[(4 - 6.8)^2 + (6 - 6.8)^2 + \dots] = 4.16 \Rightarrow \sigma \approx 2.04
\]
Esempio 3 – Approssimazione
Misuro una distanza come 9.85 m. Il valore reale è 10.00 m:
- Errore assoluto: \( \varepsilon = 0.15 \)
- Errore relativo: \( \varepsilon_r = \frac{0.15}{10} = 0.015 \) (1.5%)
6. Esercizi proposti
- (Facile)
- Calcola la media di 5, 6, 7, 8
- Qual è la moda dei dati: 2, 4, 4, 6, 8?
- (Medio)
- Calcola varianza e deviazione standard dei dati: 3, 5, 7
- Organizza in tabella i dati: 10, 15, 10, 20, 15, 10
- (Avanzato)
- Rappresenta i dati: 3, 6, 9, 12, 15 con un istogramma
- Una misura è 9.82 m, il valore reale è 10.00 m. Calcola errore assoluto e relativo
Link e risorse utili
📊 GeoGebra e approfondimenti