Vettori – Geometria analitica
In geometria analitica, i vettori sono strumenti fondamentali per rappresentare direzioni, spostamenti, forze. Vengono trattati con coordinate e operazioni algebriche.
Indice
1. Definizione e notazione
Un vettore è un ente matematico definito da:
- un punto di applicazione
- una direzione
- un verso
- un modulo (lunghezza)
Viene rappresentato con una freccia:
\[
\vec{v} = \overrightarrow{AB}
\]
2. Coordinate di un vettore
Se \( A(x_1, y_1) \) e \( B(x_2, y_2) \), allora:
\[
\vec{v} = \overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1,\ y_2 - y_1)
\]
Un vettore libero è rappresentato solo dalle sue componenti: \( \vec{v} = (v_x,\ v_y) \)
3. Operazioni con i vettori
- Somma:
\[
\vec{u} + \vec{v} = (u_x + v_x,\ u_y + v_y)
\]
- Opposto:
\[
-\vec{v} = (-v_x,\ -v_y)
\]
- Prodotto per uno scalare:
\[
\lambda \vec{v} = (\lambda v_x,\ \lambda v_y)
\]
4. Modulo, versore e direzione
- Modulo (lunghezza):
\[
|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}
\]
- Versore:
\[
\hat{v} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}
\]
- Angolo tra due vettori:
\[
\cos\theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}
\]
5. Prodotto scalare
\[
\vec{u} \cdot \vec{v} = u_x v_x + u_y v_y
\]
Proprietà:
- \( \vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta \)
- Se \( \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \), allora i vettori sono perpendicolari
6. Esempi svolti
Esempio 1 – Coordinate e modulo
Da \( A(1,2) \) a \( B(4,6) \):
\[
\vec{v} = (3, 4), \quad |\vec{v}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5
\]
Esempio 2 – Somma e prodotto scalare
\p>\( \vec{u} = (2, 1),\ \vec{v} = (1, 3) \)
\[
\vec{u} + \vec{v} = (3, 4),\quad \vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \cdot 1 + 1 \cdot 3 = 5
\]
Esempio 3 – Angolo tra vettori
\[
\vec{a} = (1, 0),\quad \vec{b} = (0, 1) \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \Rightarrow \text{perpendicolari}
\]
7. Esercizi proposti
- (Facile)
- Calcola \( \vec{AB} \) tra \( A(0,0) \) e \( B(5,2) \)
- Trova il modulo di \( \vec{v} = (3, -4) \)
- (Medio)
- Trova il prodotto scalare tra \( (2, 3) \) e \( (1, -1) \)
- Verifica se \( \vec{u} = (4, -2) \) è perpendicolare a \( \vec{v} = (1, 2) \)
- (Avanzato)
- Determina l’angolo tra \( \vec{a} = (1,1) \) e \( \vec{b} = (1, -1) \)
- Scrivi il versore di \( \vec{v} = (-6, 8) \)
Approfondimenti
🔗 GeoGebra – Vettori interattivi