Matrici e determinanti
Le matrici sono strumenti algebrici per rappresentare trasformazioni, sistemi lineari e dati strutturati. I determinanti aiutano a calcolare soluzioni, invertibilità e aree.
Indice
1. Definizione e notazione
Una matrice è una tabella di numeri disposti in righe e colonne.
Una matrice \( A \) di dimensione \( m \times n \):
\[
A = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn}
\end{bmatrix}
\]
2. Operazioni con le matrici
- Somma: elemento per elemento, solo se stesse dimensioni
- Moltiplicazione per scalare: ogni elemento viene moltiplicato per un numero
- Prodotto tra matrici: riga × colonna, definito solo se \( A_{m \times n} \cdot B_{n \times p} \)
- Matrice trasposta: si scambiano righe e colonne
3. Determinante
Solo per matrici quadrate (\( n \times n \))
Determinante 2×2:
\[
\det\begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix} = ad - bc
\]
Determinante 3×3 (regola di Sarrus):
\[
\det =
aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh
\]
(con notazione da espandere tramite diagonali principali e secondarie)
4. Matrice inversa (solo 2×2)
Una matrice quadrata è invertibile se \( \det \ne 0 \)
\[
A^{-1} = \frac{1}{\det A} \begin{bmatrix}
d & -b \\
-c & a
\end{bmatrix}
\]
5. Applicazioni
- 🔄 Risoluzione di sistemi lineari
- 📐 Trasformazioni geometriche (rotazioni, riflessioni, dilatazioni)
- 📊 Modellazione di dati e reti (es. grafi, informatica)
6. Esempi svolti
Esempio 1 – Somma
\[
A = \begin{bmatrix}1 & 2\\ 3 & 4\end{bmatrix},\quad B = \begin{bmatrix}5 & 0\\ -1 & 2\end{bmatrix}
\Rightarrow A + B = \begin{bmatrix}6 & 2\\ 2 & 6\end{bmatrix}
\]
Esempio 2 – Determinante 2×2
\[
\det\begin{bmatrix}3 & 1\\ 4 & 2\end{bmatrix} = 3\cdot2 - 4\cdot1 = 6 - 4 = 2
\]
Esempio 3 – Inversa
\[
A = \begin{bmatrix}2 & 1\\ 5 & 3\end{bmatrix},\quad \det = 2\cdot3 - 5\cdot1 = 1
\Rightarrow A^{-1} = \begin{bmatrix}3 & -1\\ -5 & 2\end{bmatrix}
\]
7. Esercizi proposti
- (Facile)
- Somma:
\[
\begin{bmatrix}1 & 2\\ 0 & 1\end{bmatrix} +
\begin{bmatrix}3 & 0\\ -1 & 2\end{bmatrix}
\]
- Trova la trasposta di
\[
\begin{bmatrix}1 & 4\\ 2 & 5\end{bmatrix}
\]
- (Medio)
- Calcola il determinante di
\[
\begin{bmatrix}2 & 1\\ -3 & 4\end{bmatrix}
\]
- Verifica se è invertibile e trova l’inversa
- (Avanzato)
- Calcola il determinante della 3×3:
\[
\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\ 0 & -1 & 4\\ 2 & 1 & 0\end{bmatrix}
\]
- Risolvi un sistema lineare con matrici (facoltativo)
Approfondimenti
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