Formule goniometriche
Le formule goniometriche permettono di trasformare e semplificare espressioni contenenti funzioni seno, coseno, tangente, e sono fondamentali per risolvere equazioni, calcolare integrali e studiare fenomeni periodici.
Indice
1. Identità fondamentali
- \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \)
- \( 1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} \)
- \( \sec^2 x - \tan^2 x = 1 \)
2. Formule di somma e differenza
- \( \sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \)
- \( \cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \)
- \( \tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta} \)
3. Formule di duplicazione e bisezione
Duplicazione:
- \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \)
- \( \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 2\cos^2 x - 1 = 1 - 2\sin^2 x \)
- \( \tan 2x = \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x} \)
Bisezione:
- \( \sin^2 \frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{2} \)
- \( \cos^2 \frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2} \)
4. Formule prodotto-somma
Prodotti in somme:
- \( \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)] \)
- \( \cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)] \)
- \( \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)] \)
Somme in prodotti:
- \( \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) \cos \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right) \)
- \( \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) \cos \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right) \)
- \( \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) \sin \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right) \)
5. Angoli associati
Utili per semplificare espressioni e risolvere equazioni goniometriche:
- \( \sin(-x) = -\sin x \)
- \( \cos(-x) = \cos x \)
- \( \sin(\pi - x) = \sin x \)
- \( \cos(\pi - x) = -\cos x \)
6. Esempi svolti
Esempio 1 – Calcolo con somma
\[
\cos(45^\circ + 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ - \sin 45^\circ \sin 30^\circ
= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}
= \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}
\]
Esempio 2 – Duplicazione
\[
\sin 2x = 2 \sin x \cos x,\quad \text{con } x = 30^\circ \Rightarrow \sin 2x = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]
Esempio 3 – Bisezione
\[
\cos^2 \frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2},\quad \text{se } \cos x = \frac{1}{2} \Rightarrow \cos^2 \frac{x}{2} = \frac{3}{4}
\]
7. Esercizi proposti
- (Facile)
- Calcola \( \sin(45^\circ + 30^\circ) \)
- Semplifica \( \sin^2 x + \cos^2 x \)
- (Medio)
- Dimostra \( \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} \)
- Scrivi \( \cos x \cos y \) come somma
- (Avanzato)
- Semplifica l’espressione:
\[
\frac{\sin x + \sin 3x}{\cos x + \cos 3x}
\]
- Dimostra:
\[
\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}
\]
Link esterni
🔗 Risorse utili