Equazioni e disequazioni goniometriche
In questo capitolo impariamo a risolvere equazioni e disequazioni che coinvolgono funzioni goniometriche. Sono strumenti essenziali per descrivere fenomeni ciclici e oscillatori.
Indice
1. Equazioni goniometriche elementari
Si risolvono cercando i valori dell’angolo \( x \) tali che:
- \( \sin x = a \Rightarrow x = \arcsin a + 2k\pi \) o \( \pi - \arcsin a + 2k\pi \)
- \( \cos x = a \Rightarrow x = \pm\arccos a + 2k\pi \)
- \( \tan x = a \Rightarrow x = \arctan a + k\pi \)
Le soluzioni sono periodiche, quindi si usano le formule generali con \( k \in \mathbb{Z} \).
2. Equazioni goniometriche complesse
Spesso si usano identità goniometriche per semplificare:
- Es: \( \sin 2x = \sqrt{3} \cos x \) → usa \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \)
- Oppure si pongono sostituzioni: \( \cos x = t \) → si risolve un'equazione algebrica in \( t \)
3. Disequazioni goniometriche
Si studia il segno della funzione in un intervallo, usando i grafici o la monotonia.
- Esempio: \( \sin x > \frac{1}{2} \) → risolvi nel dominio e ripeti il pattern ogni \( 2\pi \)
- Spesso utile rappresentare graficamente per visualizzare le soluzioni
4. Esempi svolti
Esempio 1 – \( \sin x = \frac{1}{2} \)
\[
x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi,\quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi,\quad k \in \mathbb{Z}
\]
Esempio 2 – \( \cos 2x = \frac{1}{2} \)
\[
2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{6} + k\pi
\]
Esempio 3 – Disequazione \( \tan x < 1 \)
\[
x < \arctan 1 = \frac{\pi}{4} \quad \text{in } \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)
\Rightarrow \text{ripeti ogni } \pi
\]
5. Esercizi proposti
- (Facile)
- Risolvi \( \cos x = \frac{1}{2} \)
- Trova tutte le soluzioni di \( \tan x = \sqrt{3} \)
- (Medio)
- Risolvi \( \sin 2x = \cos x \)
- Semplifica e risolvi \( \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} \)
- (Avanzato)
- Risolvi \( \sin x + \sin 3x = 0 \) su \( [0, 2\pi] \)
- Trova l’intervallo di \( x \in [0, 2\pi] \) in cui \( \cos x > \frac{1}{2} \)
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