Trigonometria nei triangoli
La trigonometria consente di calcolare lati e angoli nei triangoli non rettangoli. È usata in fisica, geodesia, ingegneria, astronomia.
Indice
1. Teorema dei seni
In ogni triangolo \( ABC \), si ha:
\[
\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}
\]
Utile quando si conoscono: un lato e due angoli, o due lati e un angolo opposto.
2. Teorema del coseno
In ogni triangolo:
\[
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha
\]
Serve per calcolare un lato dato l’angolo opposto e gli altri due lati (o viceversa).
3. Risoluzione dei triangoli
Dato un triangolo, si risolvono i lati e gli angoli usando le formule precedenti. Attenzione ai casi ambigui (SSA).
4. Area di un triangolo con formule goniometriche
- \( A = \frac{1}{2} ab \sin \gamma \)
- \( A = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} \quad \text{(formula di Erone)} \), con \( s = \frac{a + b + c}{2} \)
5. Esempi svolti
Esempio 1 – Teorema dei seni
In un triangolo, \( a = 7 \), \( \alpha = 30^\circ \), \( \beta = 45^\circ \).
\[
\frac{7}{\sin 30^\circ} = \frac{b}{\sin 45^\circ} \Rightarrow b = \frac{7 \cdot \sin 45^\circ}{\sin 30^\circ}
\approx \frac{7 \cdot 0.7071}{0.5} \approx 9.9
\]
Esempio 2 – Teorema del coseno
\[
a^2 = 5^2 + 6^2 - 2\cdot5\cdot6\cdot\cos(60^\circ) = 25 + 36 - 60 \cdot 0.5 = 31 \Rightarrow a \approx 5.57
\]
Esempio 3 – Area con seno
\[
A = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10 \cdot \sin 60^\circ = 40 \cdot 0.866 \approx 34.64
\]
6. Esercizi proposti
- (Facile)
- Calcola \( b \) sapendo che \( a = 6 \), \( \alpha = 45^\circ \), \( \beta = 60^\circ \)
- Usa \( A = \frac{1}{2} ab \sin \gamma \) per trovare l’area
- (Medio)
- Trova \( \gamma \) sapendo che \( a = 5 \), \( b = 6 \), \( c = 7 \)
- Applica la formula di Erone per calcolare l’area
- (Avanzato)
- Data l’altezza e due lati, ricava il terzo lato con trigonometria
- Verifica il teorema del coseno con un triangolo ottusangolo
Risorse esterne
🔗 GeoGebra – Triangoli e trigonometria