Numeri complessi
I numeri complessi estendono i numeri reali introducendo una nuova unità immaginaria \( i \), tale che \( i^2 = -1 \).
Sono fondamentali in matematica, ingegneria, fisica, informatica e in molti modelli avanzati.
Indice
1. Definizione e forma algebrica
Un numero complesso si scrive:
\[
z = a + bi
\]
dove:
- \( a \) è la parte reale: \( \text{Re}(z) \)
- \( b \) è la parte immaginaria: \( \text{Im}(z) \)
- \( i \) è l’unità immaginaria, con \( i^2 = -1 \)
2. Operazioni con numeri complessi
- Somma: \( (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i \)
- Prodotto:
\[
(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
\]
- Coniugato: \( \bar{z} = a - bi \)
- Modulo:
\[
|z| = \sqrt{a^2 + b^2}
\]
3. Rappresentazione nel piano complesso
Ogni numero complesso può essere rappresentato come punto \( (a, b) \) nel piano di Argand-Gauss:
- Asse orizzontale = parte reale
- Asse verticale = parte immaginaria
Il modulo \( |z| \) rappresenta la distanza dall’origine,
l’argomento \( \theta \) è l’angolo rispetto all’asse reale.
Un numero complesso può essere scritto anche così:
\[
z = r (\cos \theta + i \sin \theta)
\quad \text{dove } r = |z|,\ \theta = \arg(z)
\]
Forma esponenziale (di Eulero):
\[
z = r e^{i\theta}
\]
5. Formula di De Moivre
Utile per calcolare potenze e radici di numeri complessi:
\[
z^n = r^n \left( \cos(n\theta) + i \sin(n\theta) \right)
\]
6. Esempi svolti
Esempio 1 – Somma e prodotto
\[
z_1 = 3 + 2i,\quad z_2 = 1 - i
\Rightarrow z_1 + z_2 = 4 + i,\quad
z_1 \cdot z_2 = 3 - 3i + 2i - 2i^2 = 5 - i
\]
Esempio 2 – Modulo e coniugato
\[
z = -1 + i,\quad |z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2},\quad \bar{z} = -1 - i
\]
Esempio 3 – Forma trigonometrica
\[
z = 1 + i \Rightarrow r = \sqrt{2},\ \theta = \frac{\pi}{4}
\Rightarrow z = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right)
\]
7. Esercizi proposti
- (Facile)
- Calcola \( z_1 + z_2 \) e \( z_1 \cdot z_2 \) per \( z_1 = 2 + 3i,\ z_2 = 1 - i \)
- Trova \( |z| \) e \( \bar{z} \) per \( z = -3 + 4i \)
- (Medio)
- Scrivi in forma trigonometrica \( z = -1 + i \)
- Usa De Moivre per calcolare \( (1 + i)^4 \)
- (Avanzato)
- Trova le soluzioni complesse di \( z^3 = 1 \)
- Dimostra che \( z \cdot \bar{z} = |z|^2 \)
Approfondimenti e risorse
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