Matrici, determinanti e vettori
Questo capitolo riprende e approfondisce concetti fondamentali per la geometria analitica nello spazio: vettori, matrici, determinanti.
Sono strumenti chiave anche in fisica, informatica, sistemi dinamici e modelli tridimensionali.
Indice
1. Vettori nel piano e nello spazio
Un vettore è un oggetto dotato di direzione, verso e modulo. Si rappresenta con una freccia o con coordinate:
- Nel piano: \( \vec{v} = \langle v_x, v_y \rangle \)
- Nello spazio: \( \vec{v} = \langle v_x, v_y, v_z \rangle \)
2. Matrici e operazioni
- Somma, prodotto per scalare
- Moltiplicazione tra matrici
- Matrice trasposta \( A^T \)
- Matrice inversa \( A^{-1} \), se \( \det A \ne 0 \)
3. Determinanti
Matrice 2×2:
\[
\det \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = ad - bc
\]
Matrice 3×3 (regola di Sarrus):
\[
\det A =
aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh
\]
Interpretazione geometrica:
il determinante di 2 vettori nel piano dà l'area del parallelogramma.
Il determinante di 3 vettori nello spazio dà il volume del parallelepipedo.
4. Prodotto scalare e vettoriale
Prodotto scalare
\[
\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z
\]
Risultato: un numero (scalare). Utile per calcolare angoli e proiezioni.
Prodotto vettoriale (solo 3D)
\[
\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
a_x & a_y & a_z \\
b_x & b_y & b_z
\end{vmatrix}
\]
Risultato: un vettore perpendicolare al piano dei due dati, utile in fisica, ingegneria, grafica 3D.
5. Esempi svolti
Esempio 1 – Prodotto scalare
\[
\vec{a} = \langle 2, 3 \rangle,\quad \vec{b} = \langle 4, -1 \rangle
\Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 4 + 3 \cdot (-1) = 8 - 3 = 5
\]
Esempio 2 – Determinante 3×3
\[
A = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & -1 & 4 \\
2 & 1 & 0
\end{bmatrix} \Rightarrow \det A = 1(-1\cdot0 - 4\cdot1) - 2(0\cdot0 - 4\cdot2) + 3(0\cdot1 - (-1)\cdot2) = -4 + 16 + 6 = 18
\]
Esempio 3 – Prodotto vettoriale
\[
\vec{a} = \langle 1, 0, 0 \rangle,\quad \vec{b} = \langle 0, 1, 0 \rangle
\Rightarrow \vec{a} \times \vec{b} = \langle 0, 0, 1 \rangle
\]
6. Esercizi proposti
- (Facile)
- Calcola il prodotto scalare tra \( \langle 3, 4 \rangle \) e \( \langle 1, 2 \rangle \)
- Trova il determinante di
\[
\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{bmatrix}
\]
- (Medio)
- Trova l’area del parallelogramma generato da \( \vec{a} = \langle 3, 1 \rangle \), \( \vec{b} = \langle 2, -2 \rangle \)
- Calcola \( \vec{a} \times \vec{b} \) per \( \vec{a} = \langle 2, 1, 0 \rangle \), \( \vec{b} = \langle -1, 0, 3 \rangle \)
- (Avanzato)
- Verifica se tre vettori nello spazio sono complanari (determinante nullo)
- Usa una matrice inversa per risolvere un sistema lineare 3×3
Link utili
🌐 GeoGebra e approfondimenti