Geometria euclidea e analitica nello spazio
Estendiamo la geometria dal piano allo spazio tridimensionale, dove i concetti di punto, retta e piano si arricchiscono di nuove relazioni e applicazioni.
Indice
1. Coordinate di un punto nello spazio
Un punto nello spazio ha tre coordinate:
\[
P(x, y, z)
\]
La distanza tra due punti \( A(x_1, y_1, z_1) \) e \( B(x_2, y_2, z_2) \) è:
\[
AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}
\]
2. Rette nello spazio
Una retta si rappresenta in forma parametrica usando un punto \( P_0 \) e un vettore direzione \( \vec{v} \):
\[
\begin{cases}
x = x_0 + at \\
y = y_0 + bt \\
z = z_0 + ct
\end{cases}
\quad t \in \mathbb{R}
\]
Oppure come intersezione di due piani (forma cartesiana implicita).
3. Piani nello spazio
L’equazione generale di un piano è:
\[
ax + by + cz + d = 0
\]
Il vettore normale al piano è \( \vec{n} = (a, b, c) \)
4. Distanze e angoli
- Distanza punto-piano:
\[
d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}
\]
- Distanza punto-retta: usa il prodotto vettoriale tra vettori
- Angolo tra due vettori:
\[
\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}
\]
- Angolo tra due piani: calcolato tra i rispettivi vettori normali
5. Intersezioni tra elementi geometrici
- Retta ∩ piano: sostituisci le equazioni parametriche nella del piano
- Retta ∩ retta: sistema di equazioni parametriche → soluzioni compatibili?
- Piano ∩ piano: intersezione = retta
6. Esempi svolti
Esempio 1 – Distanza punto-piano
\[
P(1,2,3),\quad \pi: 2x - y + 2z - 5 = 0
\Rightarrow d = \frac{|2\cdot1 - 2 + 2\cdot3 -5|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \frac{3}{3} = 1
\]
Esempio 2 – Equazione di una retta passante per un punto con direzione
\[
P(0,1,2),\quad \vec{v} = (1,0,-1)
\Rightarrow
\begin{cases}
x = t \\
y = 1 \\
z = 2 - t
\end{cases}
\]
Esempio 3 – Angolo tra due piani
\[
\pi_1: x + y + z = 0,\quad \pi_2: x - y + 2z = 5
\Rightarrow \cos \theta = \frac{1\cdot1 + 1\cdot(-1) + 1\cdot2}{\sqrt{3}\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{18}} \approx 0.47
\]
7. Esercizi proposti
- (Facile)
- Scrivi le coordinate di una retta passante per \( P(2,1,0) \) con direzione \( \vec{v} = (1,2,3) \)
- Verifica se un punto appartiene a un piano
- (Medio)
- Trova l’equazione di un piano passante per tre punti
- Calcola la distanza tra il punto \( A(1,2,3) \) e la retta \( x = 2 + t, y = 1, z = 4 - t \)
- (Avanzato)
- Trova l’intersezione tra due piani e scrivi l’equazione della retta risultante
- Dimostra che due rette sono sghembe
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