Limiti e continuità
I limiti ci permettono di studiare il comportamento di una funzione vicino a un punto o verso l’infinito.
Il concetto di continuità è legato alla possibilità di tracciare il grafico di una funzione “senza staccare la penna”.
Indice
1. Limite in un punto
Il limite di \( f(x) \) per \( x \to a \) è \( L \) se i valori di \( f(x) \) si avvicinano a \( L \) quando \( x \) si avvicina ad \( a \):
\[
\lim_{x \to a} f(x) = L
\]
Può essere un limite destro o sinistro:
\[
\lim_{x \to a^-} f(x), \quad \lim_{x \to a^+} f(x)
\]
2. Limiti all'infinito
Studiano il comportamento della funzione per \( x \to +\infty \) o \( x \to -\infty \):
\[
\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0, \quad
\lim_{x \to \infty} x^2 = \infty
\]
Le forme come \( \frac{0}{0} \), \( \frac{\infty}{\infty} \), \( \infty - \infty \), \( 0 \cdot \infty \), ecc., sono dette **forme indeterminate**.
Due limiti notevoli fondamentali:
\[
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1, \quad
\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e
\]
4. Continuità in un punto
Una funzione \( f \) è continua in \( x = a \) se:
\[
\lim_{x \to a} f(x) = f(a)
\]
Tipi di discontinuità:
- **Discontinuità eliminabile**: il limite esiste ma non coincide con \( f(a) \)
- **Discontinuità di salto**: i limiti destro e sinistro sono finiti ma diversi
- **Discontinuità infinita**: almeno uno dei limiti è infinito
5. Esempi svolti
Esempio 1 – Limite finito
\[
\lim_{x \to 2} (3x + 1) = 7
\]
Esempio 2 – Limite con forma indeterminata
\[
\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2
\]
Esempio 3 – Continuità
\[
f(x) =
\begin{cases}
x^2, & x < 1 \\
2, & x = 1 \\
x + 1, & x > 1
\end{cases}
\Rightarrow \text{discontinuità eliminabile in } x = 1
\]
6. Esercizi proposti
- (Facile)
- Calcola \( \lim_{x \to 0} \frac{2x}{x + 1} \)
- Trova \( \lim_{x \to 1^-} f(x) \) e \( \lim_{x \to 1^+} f(x) \) per una funzione data
- (Medio)
- Individua i punti di discontinuità della funzione
\[
f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}
\]
- Studia la continuità di
\[
f(x) = \begin{cases}
x^2 - 1 & x < 0 \\
\ln(x + 1) & x \ge 0
\end{cases}
\]
- (Avanzato)
- Calcola:
\[
\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x}
\]
- Determina il valore di \( k \) affinché
\[
f(x) = \begin{cases}
kx + 1 & x < 2 \\
x^2 - 3 & x \ge 2
\end{cases}
\text{ sia continua in } x = 2
\]
Risorse esterne
🌐 Approfondimenti online