Massimi, minimi e flessi
Lo studio dei punti di massimo, minimo e flesso di una funzione permette di comprenderne la forma e il comportamento globale.
Indice
Punti di massimo e minimo
Massimo/Minimo relativo: Una funzione \( f \) ha un massimo (o minimo) relativo in \( x_0 \) se esiste un intorno in cui
\[
f(x_0) \geq f(x) \quad \text{(oppure } f(x_0) \leq f(x) \text{)} \quad \text{per ogni } x \text{ vicino a } x_0.
\]
In corrispondenza di un estremo relativo, se la funzione è derivabile, vale \( f'(x_0) = 0 \) (teorema di Fermat).
Criteri del primo e secondo ordine
Criterio del primo ordine
Se \( f'(x) \) cambia segno passando da positivo a negativo, \( x \) è un massimo.
Se cambia da negativo a positivo, \( x \) è un minimo.
Criterio del secondo ordine
Se \( f'(x_0) = 0 \) e \( f''(x_0) > 0 \), allora \( x_0 \) è un minimo.
Se \( f''(x_0) < 0 \), allora \( x_0 \) è un massimo.
Se \( f''(x_0) = 0 \), il test è inconcludente.
Punti di flesso
Un punto \( x_0 \) è un punto di flesso se la concavità della funzione cambia (da concava verso l'alto a concava verso il basso o viceversa) in \( x_0 \).
Condizione necessaria (ma non sufficiente): \( f''(x_0) = 0 \) e cambia segno nei pressi di \( x_0 \).
Esempi svolti
Esempio 1
Trova gli estremi relativi della funzione \( f(x) = x^3 - 3x \).
- Derivata prima: \( f'(x) = 3x^2 - 3 \).
- Punti stazionari: \( f'(x) = 0 \Rightarrow x = \pm1 \).
- Seconda derivata: \( f''(x) = 6x \).
- \( f''(-1) = -6 < 0 \Rightarrow \) massimo in \( x = -1 \).
- \( f''(1) = 6 > 0 \Rightarrow \) minimo in \( x = 1 \).
Esempio 2
Trova eventuali flessi per \( f(x) = x^4 - 4x^2 \).
- Derivata seconda: \( f''(x) = 12x^2 - 8 \).
- Flessi quando \( f''(x) = 0 \Rightarrow x = \pm\sqrt{\frac{2}{3}} \).
- La concavità cambia segno: entrambi sono punti di flesso.
Esercizi proposti
- (Facile) Trova gli estremi relativi di \( f(x) = x^2 - 4x + 1 \).
- (Medio) Studia la concavità e i flessi di \( f(x) = x^3 - 6x \).
- (Medio) Usa il criterio del primo ordine per determinare gli estremi di \( f(x) = \frac{1}{x} + x \).
- (Avanzato) Dimostra che \( f(x) = e^{-x^2} \) non ha estremi relativi, ma ha un massimo assoluto in \( x = 0 \).
Approfondimenti
📈 Differenza tra massimo relativo e assoluto
Un massimo relativo è locale: basta che sia il più grande in un piccolo intorno. Un massimo assoluto è il punto più alto su tutto il dominio della funzione.
🌐 Risorse esterne