Studio di funzione

Lo studio di funzione è il processo con cui si analizza il comportamento di una funzione reale: dove cresce, dove decresce, quali sono i suoi massimi, minimi, asintoti, concavità e punti di flesso.

Indice

• 1. Dominio e simmetrie
• 2. Intersezioni con gli assi
• 3. Limiti e asintoti
• 4. Derivata prima: crescenza e estremi
• 5. Derivata seconda: concavità e flessi
• 6. Grafico finale
• 7. Esercizi proposti

1. Dominio e simmetrie

Il dominio è l'insieme dei valori per cui la funzione è definita. Cerca radici pari, denominatori nulli, logaritmi negativi…

Verifica anche:

• Parità: \( f(-x) = f(x) \) → funzione pari (simmetrica rispetto all'asse \( y \))
• Disparità: \( f(-x) = -f(x) \) → funzione dispari (simmetrica rispetto all'origine)

2. Intersezioni con gli assi

• Intersezione con l’asse \( y \): calcola \( f(0) \)
• Intersezione con l’asse \( x \): risolvi \( f(x) = 0 \)

3. Limiti e asintoti

• Calcola i limiti agli estremi del dominio e ai punti critici
• Asintoti verticali: limiti finiti per \( x \to a^\pm \) con discontinuità infinita
• Asintoti orizzontali: limiti per \( x \to \pm\infty \)
• Asintoti obliqui: se \( \lim_{x\to\infty} \frac{f(x)}{x} = m \neq 0 \)

4. Derivata prima: crescenza e estremi

Studia il segno della derivata prima \( f'(x) \):

• \( f'(x) > 0 \Rightarrow f \) cresce
• \( f'(x) < 0 \Rightarrow f \) decresce
• \( f'(x) = 0 \): possibili massimi/minimi locali

5. Derivata seconda: concavità e flessi

Studia il segno di \( f''(x) \):

• \( f''(x) > 0 \Rightarrow \) concavità verso l’alto
• \( f''(x) < 0 \Rightarrow \) concavità verso il basso
• \( f''(x) = 0 \) con cambio di segno: punto di flesso

6. Grafico finale

Costruisci la tabella dei segni e disegna il grafico globale, usando tutte le informazioni raccolte.

7. Esercizi proposti

1. (Facile)
   • Studia \( f(x) = x^2 - 4 \)
   • Trova i massimi e minimi di \( f(x) = -x^2 + 2x \)
2. (Medio)
   • Studia \( f(x) = \frac{x}{x^2 + 1} \)
   • Determina gli asintoti e la concavità di \( f(x) = \frac{2x + 1}{x - 1} \)
3. (Avanzato)
   • Studio completo di \( f(x) = x e^{-x} \)
   • Trova tutti i flessi della funzione \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \)

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