Integrali indefiniti
L'integrale indefinito è l'operazione inversa della derivata: consente di "ricostruire" una funzione a partire dalla sua derivata.
Indice
Definizione e notazione
Integrale indefinito: Data una funzione \( f(x) \), l’integrale indefinito è l’insieme di tutte le funzioni primitive di \( f \):
\[
\int f(x)\,dx = F(x) + C
\]
dove \( F'(x) = f(x) \) e \( C \in \mathbb{R} \) è la costante di integrazione.
Proprietà fondamentali
- \( \int (f(x) + g(x))\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx \)
- \( \int k \cdot f(x)\,dx = k \cdot \int f(x)\,dx \), per ogni costante \( k \in \mathbb{R} \)
- \( \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1) \)
- \( \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C \)
- \( \int e^x\,dx = e^x + C \)
- \( \int \sin x\,dx = -\cos x + C \)
- \( \int \cos x\,dx = \sin x + C \)
Esempi svolti
Esempio 1
Calcola \( \int (3x^2 - 2x + 1)\,dx \).
Svolgimento:
\[
\int (3x^2 - 2x + 1)\,dx = x^3 - x^2 + x + C
\]
Esempio 2
Calcola \( \int \frac{1}{x}\,dx \).
\[
\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C
\]
Esempio 3
Trova una funzione \( f(x) \) tale che \( f'(x) = \cos x \).
\[
f(x) = \int \cos x\,dx = \sin x + C
\]
Esercizi proposti
- (Facile) Calcola \( \int 4x^3\,dx \)
- (Facile) Calcola \( \int \cos x\,dx \)
- (Medio) Trova \( f(x) \) tale che \( f'(x) = 2x + \frac{1}{x} \)
- (Medio) Calcola \( \int (x^2 + \frac{1}{x})\,dx \)
- (Avanzato) Trova la primitiva di \( f(x) = \frac{x^2 + 1}{x} \)
Approfondimenti
🧠 Il significato geometrico dell'integrale indefinito
L'integrale indefinito non rappresenta un'area, ma una famiglia di funzioni. È utile per passare da una velocità alla posizione, da un'accelerazione alla velocità, ecc.
🌐 Risorse esterne