L’integrale definito permette di calcolare aree sotto il grafico di una funzione continua in un intervallo. È uno strumento centrale del calcolo integrale.
L'integrale definito misura l'area "algebrica": le porzioni sopra l'asse \( x \) sono positive, quelle sotto sono negative.
Calcola \( \int_0^2 x^2\,dx \).
Svolgimento: La primitiva è \( F(x) = \frac{x^3}{3} \), quindi: \[ \int_0^2 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3} \]
Calcola \( \int_1^e \frac{1}{x}\,dx \).
\( \int_1^e \frac{1}{x}\,dx = \left[\ln|x|\right]_1^e = \ln(e) - \ln(1) = 1 - 0 = 1 \)
Calcola l’area compresa tra \( f(x) = \sin x \) e l’asse \( x \) in \([0, \pi]\).
\[ \int_0^\pi \sin x\,dx = [-\cos x]_0^\pi = -\cos(\pi) + \cos(0) = -(-1) + 1 = 2 \]Se una funzione assume valori positivi e negativi su un intervallo, l’integrale calcola la differenza tra area sopra e area sotto l’asse \( x \).
Se stai cercando un esempio di formula matematica che includa un integrale, ecco un classico esempio che potrebbe interessarti. Consideriamo il calcolo dell'area sotto la curva di una funzione tra due punti, e . La formula dell'integrale definito, che fornisce questa area, è la seguente:
Supponiamo che tu voglia calcolare l'area sotto la curva di dall'intervallo da 0 a 2. L'integrale definito sarebbe:
Per risolvere questo integrale:
Trova l'integrale indefinito (l'antiderivata) di :
Applica i limiti di integrazione:
Quindi, l'area sotto la curva di da 0 a 2 è unità quadrate.
Questo esempio illustra il processo di integrazione per calcolare l'area sotto una curva specifica, una delle applicazioni più comuni degli integrali in matematica. Se hai bisogno di ulteriori dettagli o un esempio diverso, fammelo sapere!