Equazioni differenziali
Le equazioni differenziali descrivono fenomeni in cui una quantità dipende dalla sua variazione, come crescita, decadimento, oscillazioni e dinamiche fisiche.
Indice
Cos'è un'equazione differenziale?
Un’equazione differenziale è un’equazione che contiene una funzione incognita e una o più sue derivate.
Ad esempio:
\[
\frac{dy}{dx} = ky
\]
è un'equazione differenziale del primo ordine.
Molti modelli fisici, biologici o economici si descrivono con equazioni differenziali.
Equazioni a variabili separabili
Si possono risolvere separando le variabili e integrando:
\[
\frac{dy}{dx} = g(x)h(y) \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{h(y)}dy = g(x)dx
\]
Esempio
\[
\frac{dy}{dx} = 2x y \Rightarrow \frac{1}{y}dy = 2x dx
\Rightarrow \ln|y| = x^2 + C \Rightarrow y = Ce^{x^2}
\]
Equazioni lineari del primo ordine
Forma standard:
\[
\frac{dy}{dx} + p(x)y = q(x)
\]
Si risolve con il **fattore integrante**:
\[
\mu(x) = e^{\int p(x)\,dx}
\]
Esempio
\[
\frac{dy}{dx} - y = e^{2x}
\Rightarrow \mu(x) = e^{-\int 1 dx} = e^{-x}
\]
\[
e^{-x} \frac{dy}{dx} - e^{-x}y = e^{x}
\Rightarrow \frac{d}{dx}(e^{-x}y) = e^x
\Rightarrow e^{-x}y = \int e^x dx = e^x + C
\Rightarrow y = e^{2x} + Ce^{x}
\]
Esempi svolti
- \( \frac{dy}{dx} = 3y \Rightarrow y = Ce^{3x} \)
- \( \frac{dy}{dx} = \frac{x}{y} \Rightarrow y\,dy = x\,dx \Rightarrow y^2 = x^2 + C \)
- \( \frac{dy}{dx} + 2y = 4 \Rightarrow \) soluzione generale \( y = Ce^{-2x} + 2 \)
Esercizi proposti
- (Facile) Risolvi: \( \frac{dy}{dx} = 4y \)
- (Medio) Risolvi: \( \frac{dy}{dx} = \frac{x}{y} \)
- (Medio) Risolvi l'equazione lineare: \( \frac{dy}{dx} + y = x \)
- (Avanzato) Modella e risolvi: "Una sostanza decade proporzionalmente alla quantità presente".
Approfondimenti
🔍 Modellazione con equazioni differenziali
Molti fenomeni naturali si modellano con equazioni differenziali: crescita della popolazione, raffreddamento di Newton, circuiti elettrici, oscillazioni armoniche…
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