Distribuzioni di probabilità

Le distribuzioni di probabilità descrivono il comportamento di variabili casuali e ci permettono di prevedere la probabilità di eventi aleatori.

Indice

Una variabile casuale associa un numero reale a ciascun esito di un esperimento aleatorio. Può essere:

Modella un singolo esperimento con esito "successo" (probabilità \( p \)) o "insuccesso" (probabilità \( 1 - p \)).

Valori possibili: 0 o 1

Rappresenta il numero di successi in \( n \) prove indipendenti: \[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \]

Media: \( \mu = np \), Varianza: \( \sigma^2 = np(1 - p) \)

Probabilità costante su un intervallo: \[ f(x) = \frac{1}{b - a}, \quad \text{per } x \in [a, b] \]

La più importante tra le distribuzioni. Densità: \[ f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}} \]

Simmetrica rispetto alla media \( \mu \), con deviazione standard \( \sigma \). Modella molti fenomeni naturali.

Lancio di 10 monete, probabilità di ottenere esattamente 6 teste (binomiale):

\[ P(X = 6) = \binom{10}{6} \cdot 0.5^6 \cdot 0.5^4 = \binom{10}{6} \cdot 0.5^{10} = \frac{210}{1024} \approx 0.205 \]

Variabile normale con \( \mu = 0 \), \( \sigma = 1 \): calcola \( P(-1 < X < 1) \approx 68.3\% \) (regola empirica dei 68-95-99.7)

(Facile) Una moneta è lanciata 4 volte. Calcola la probabilità di ottenere 2 teste.
(Medio) Una variabile binomiale ha \( n = 8 \), \( p = 0.3 \). Calcola \( P(X = 3) \).
(Medio) In una distribuzione normale con \( \mu = 170 \), \( \sigma = 10 \), calcola la probabilità che \( X \) sia tra 160 e 180.
(Avanzato) Dimostra che la somma di molte variabili casuali tende alla distribuzione normale (cenno al teorema centrale del limite).

📊 Regola empirica (68-95-99.7)

Nella distribuzione normale:

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