Bernoulli in un circuito chiuso Un fluido gira in un anello con una pompa, una salita e una strozzatura. Dove vanno e da dove vengono i joule?

Acqua (ρ = 1000 kg/m³) in un anello chiuso: un tratto in basso con la pompa e un allargamento, una salita in diagonale fino al tetto di un palazzo (dislivello H regolabile, 20 m di default: un palazzo di sette piani), un tratto in alto con una strozzatura, una discesa in diagonale. Le lunghezze dei tratti scalano con H. Il tubo ha diametro 5 cm; nella strozzatura si riduce nel rapporto d/D, nell'allargamento cresce nel rapporto D'/D. Gli edifici servono solo a leggere la quota.

Il colore mostra la pressione, i puntini sono elementi di fluido. Guardali nella strozzatura: corrono e si diradano; nell'allargamento rallentano e si affollano (continuità: Av costante). In salita rallentano? No: la sezione è la stessa, quindi la velocità è la stessa. Cambia la pressione, non la velocità.

La sonda si trascina con il mouse o con il dito. Le due sezioni perpendicolari al tubo, verde e arancione, stanno poco a monte e poco a valle: accanto leggi i joule al secondo che entrano e che escono da quel tratto. Ideale: uguali. Con attrito: la differenza è la potenza diventata calore in quel tratto.

Il grafico sotto impila le tre "monete" in cui si può contare l'energia per unità di volume. Il bordo superiore della pila è la funzione di Bernoulli B.

Una fettina di fluido di lunghezza ds e sezione A. Le forze di pressione sono tre: da dietro pA, da davanti −(p+dp)(A+dA), e dalla parete laterale, obliqua se la sezione varia, una componente +p·dA. Somma:

La parete compensa esattamente la variazione di sezione. Aggiungi la componente del peso lungo il tubo, −ρgAdz, e scrivi Newton per la fettina di massa ρAds. In regime stazionario l'accelerazione è v·dv/ds:

È tutto qui. La velocità entra dalla cinematica, la quota dal peso, la pressione perché ρ è costante e quindi −(1/ρ)dp/ds è la derivata di p/ρ: la pressione fa da energia potenziale per unità di massa.

Dividi per ρg e ogni termine diventa un'altezza:

Un elemento di fluido ideale in moto stazionario si muove come una pallina senza attrito su un paesaggio fisso la cui quota è z + p/ρg: quota geometrica più altezza della colonna d'acqua che quella pressione sosterrebbe. Va veloce dove il paesaggio è basso. La costanza è la conservazione dell'energia della pallina.

Le ipotesi sono nel modello: senza attrito = fluido ideale; paesaggio fisso = moto stazionario; il paesaggio è fatto da p/ρg solo se ρ è costante.

p ha le dimensioni di J/m³, ma non conta i joule contenuti in un metro cubo che c'è: conta i joule consegnati attraverso una sezione per ogni metro cubo che la attraversa. Il lavoro della pressione su una fettina di volume ΔV è pΔV. La grandezza dinamica è il flusso di energia:

Per sapere i joule passati non si integra sul volume del tubo (un tubo lungo o corto non cambia nulla) ma sul volume transitato: E = B·Q·t. Prova a spostare la sonda: il numero "energia che attraversa la sezione" non cambia lungo il giro se il fluido è ideale.

Un fluido incomprimibile non immagazzina energia elastica. La pressione è un meccanismo di trasmissione, come la tensione in una fune: ogni elemento riceve lavoro da chi lo spinge da dietro e cede lavoro a chi ha davanti. Nessuno accumula.

Fai il giro completo: da dopo la pompa fino a prima della pompa. Se il fluido è ideale, B è costante lungo tutto il giro, quindi B all'ingresso della pompa è uguale a B all'uscita: ΔB_pompa = 0 e la potenza della pompa è zero. Il contatore dei joule resta fermo.

Non è un paradosso: una volta avviato, il moto si mantiene da solo, come una pallina in una guida senza attrito. Le differenze di pressione locali esistono e fanno lavoro (accelerano il fluido nella strozzatura, lo frenano dopo, lo sollevano in salita, lo spingono in discesa), ma sommate sul giro danno zero. L'energia circola in transito, la pressione la sposta da un punto all'altro senza produrla né consumarla.

Attiva l'attrito. Lungo il giro B cala (energia che diventa calore) e la pompa deve rialzarlo esattamente di quanto è calato: ΔB_pompa = perdite. La pompa paga la dissipazione, solo quella. Non paga "per mantenere la pressione".

Nei circuiti aperti la sorgente è sempre fuori dall'acqua: nel serbatoio che si svuota paga la gravità (il pelo libero scende); nel serbatoio pressurizzato paga il gas, che sì immagazzina energia elastica perché è comprimibile.

Attiva "Mostra l'analogia elettrica". Il potenziale elettrico è energia per unità di carica trasportata, come B è energia per unità di volume trasportato; nessuno chiama V "densità di energia nel filo". Il filo non immagazzina l'energia del generatore, l'acqua incomprimibile non immagazzina quella della pompa.

La legge di Kirchhoff alle maglie è Bernoulli sul giro; la resistenza è l'attrito viscoso; la potenza dissipata IΔV è QΔB; un circuito a resistenza nulla, come il fluido ideale, non ha bisogno di generatore per far girare la corrente. La differenza importante: nel fluido, B ha tre monete (p, ½ρv², ρgz) che si scambiano tra loro lungo il percorso; nel filo il potenziale è uno solo.

• Fluido ideale, sonda in giro: B e Q·B non si muovono, mentre p e v sì.
• Stringi la strozzatura fino a far scendere p sotto zero: cavitazione. Poi alza la pressione d'ingresso e chiediti perché basta.
• Con attrito: quanto vale ΔB_pompa rispetto alla pila persa lungo il giro? Raddoppia Q: le perdite crescono più che linearmente (∝ v²), come la potenza in una resistenza (∝ I²).
• Dove è più alta la pressione: in basso o in alto? E la velocità cambia in salita? Spiega perché no.
• Spegni l'attrito dopo averlo acceso: i contatori restano fermi. I joule già spesi sono calore; quelli in transito nel circuito non erano della pompa.