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## **1. Grandezze Fisiche e Misura** ### **Notazione Scientifica e Ordini di Grandezza** * **Notazione scientifica**: $N = m \times 10^n$ (con $1 \le |m| < 10$) * **Ordine di grandezza**: $10^n$ più vicino al numero $N$. ### **Errori di Misura** * **Errore assoluto (misura singola)**: $E_a = \text{sensibilità dello strumento}$ * **Errore assoluto (serie di misure)**: $E_a = \frac{x_{max} - x_{min}}{2}$ (errore massimo o semidispersione) * **Valore medio**: $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{N} x_i}{N}$ * **Risultato di una misura**: $x = \bar{x} \pm E_a$ * **Errore relativo**: $E_r = \frac{E_a}{|\bar{x}|}$ * **Errore percentuale**: $E_{perc.} = E_r \times 100$ ### **Propagazione degli Errori** * **Somma o differenza ($S=A+B$ o $D=A-B$)**: $E_{a,S} = E_{a,D} = E_{a,A} + E_{a,B}$ * **Prodotto o quoziente ($P=A \cdot B$ o $Q=A/B$)**: $E_{r,P} = E_{r,Q} = E_{r,A} + E_{r,B}$ * **Potenza ($K=A^n$)**: $E_{r,K} = n \cdot E_{r,A}$ --- ## **2. Vettori** * **Modulo di un vettore in 2D**: $|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$ * **Modulo di un vettore in 3D**: $|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}$ * **Componenti di un vettore**: $v_x = |\vec{v}| \cos \theta$, $v_y = |\vec{v}| \sin \theta$ * **Somma di vettori (metodo punta-coda)**: $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}$ * **Somma di vettori (componenti)**: $R_x = A_x + B_x$, $R_y = A_y + B_y$ * **Prodotto scalare**: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ * **Prodotto scalare (componenti)**: $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$ * **Prodotto vettoriale (modulo)**: $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta$ * **Prodotto vettoriale (proprietà)**: $\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})$ --- ## **3. Statica** ### **Equilibrio di un corpo rigido (piano)** - **Equilibrio traslazionale**: $\sum \vec{F} = \vec{0} \ \Rightarrow\ \sum F_x=0,\ \sum F_y=0$ - **Equilibrio rotazionale**: $\sum \vec{M}_O = \vec{0} \ \Rightarrow\ \sum M_O=0$ (punto $O$ arbitrario) - **Invarianza del momento di una coppia**: $M_{\text{coppia}}$ è indipendente dal polo --- ### **Momenti, coppie, lavori** - **Momento di una forza**: $\vec{M}_O=\vec{r}\times\vec{F}$, $M_O=rF\sin\theta$ - **Coppia di forze**: $M = F \, d$ (braccio $d$), **Lavoro coppia**: $L = M \, \Delta \theta$ - **Teorema di Varignon**: $M_O(\sum \vec{F}) = \sum M_O(\vec{F}_i)$ --- ### **Reazioni vincolari tipiche (piano)** - **Appoggio liscio**: $\vec{R}$ normale al vincolo (1 incognita) - **Fune/Cavo**: $\vec{T}$ lungo la fune, verso di trazione (1 incognita) - **Cerniera**: $R_x,\ R_y$ (2 incognite) - **Incastro**: $R_x,\ R_y,\ M$ (3 incognite) --- ### **Baricentro / Centro di massa** - **Sistema discreto**: $x_G=\dfrac{\sum m_i x_i}{\sum m_i},\ \ y_G=\dfrac{\sum m_i y_i}{\sum m_i}$ - **Distribuzione continua**: $x_G=\dfrac{1}{M}\int x \, dm,\ \ y_G=\dfrac{1}{M}\int y \, dm$ - **Composizione per parti**: $\vec{r}_G=\dfrac{\sum M_j\,\vec{r}_{G_j}}{\sum M_j}$ --- ### **Piano inclinato (angolo $\alpha$)** - **Scomposizione peso**: $F_\parallel=mg\sin\alpha,\ \ F_\perp=mg\cos\alpha$ - **Senza attrito (quiete)**: $F_{\text{est}}=mg\sin\alpha$ - **Attrito statico**: $F_s\le \mu_s N$ con $N=mg\cos\alpha$ - **Soglia di slittamento (riposo → moto)**: $\tan\alpha_{\text{lim}}=\mu_s$ - **Moto incipiente verso il basso**: $mg\sin\alpha=\mu_s\,mg\cos\alpha \Rightarrow \alpha=\arctan\mu_s$ - **Con attrito dinamico (costante)**: $F_{ad}=\mu_d\,mg\cos\alpha$ --- ### **Attrito solido (Coulomb)** - **Statico**: $F_s \le \mu_s N$ (direzione opposta al possibile scorrimento) - **Dinamico (radente)**: $F_d = \mu_d N$ - **Cono d’attrito**: $\tan\varphi=\mu_s$ (contatto non scivola se $\angle(\vec{R},\ \text{normale})\le\varphi$) - **Rotolamento (modello semplice)**: $M_r = b\,N$ (con $b$ coeff. di rotolamento) --- ### **Attrito nei fluidi** - **Regime viscoso (Stokes, sfera raggio $r$)**: $F_v = 6\pi\eta r\,v$ - **Regime quadratico (alta $Re$)**: $F_d \approx \tfrac{1}{2}\rho\,C_d\,A\,v^2$ - **Numero di Reynolds**: $Re=\dfrac{\rho v L}{\eta}$ - **Velocità terminale sfera (Stokes)**: $v_t=\dfrac{2}{9}\dfrac{r^2(\rho_s-\rho_f)g}{\eta}$ --- ### **Molle (Hooke)** - **Legge di Hooke**: $F = kx$ (direzione opposta allo spostamento, segno $-$ in forma vettoriale) - **Energia elastica**: $U_e=\tfrac{1}{2}kx^2$ - **Serie**: $\dfrac{1}{k_{eq}}=\sum_i \dfrac{1}{k_i}$ (stessa $F$, allungamenti che si sommano) - **Parallelo**: $k_{eq}=\sum_i k_i$ (stesso $x$, forze che si sommano) - **Equilibrio statico massa–molla**: $\Delta L=\dfrac{mg}{k_{eq}}$ --- ### **Leve (bracci misurati dal fulcro)** - **Condizione di equilibrio**: $F_1\,l_1 = F_2\,l_2$ - **Vantaggio meccanico**: $VM=\dfrac{F_{\text{resistenza}}}{F_{\text{potenza}}}=\dfrac{l_{\text{potenza}}}{l_{\text{resistenza}}}$ --- ### **Carrucole e funi ideali** - **Paranco ideale (n tratti portanti)**: $F_{\text{mano}}=\dfrac{W}{n}$, $VM=n$ - **Equilibrio su pulegge ideali**: $T=\text{costante}$ su ogni tratto della stessa fune --- ### **Cunei e viti (cenni, attrito)** - **Cuneo (angolo $2\alpha$)**: forza di avanzamento cresce con l’attrito sui fianchi - **Vite (passo $p$, raggio medio $R$)**: $\tan\lambda=\dfrac{p}{2\pi R}$ Con attrito: $\varphi=\arctan\mu$ → **autobloccaggio** se $\lambda<\varphi$ --- ### **Travi isostatiche – essenziali** - **Taglio e momento (convenzioni)**: $\dfrac{dV}{dx}=-w(x)$,\ \ $\dfrac{dM}{dx}=V(x)$ - **Risultante carico distribuito**: $W=\int w(x)\,dx$ (applicata al baricentro del carico) - **Equazioni di equilibrio globale (piano)**: $\sum F_x=0,\ \sum F_y=0,\ \sum M=0$ --- ### **Stabilità dell’equilibrio (criterio energetico)** - **Potenziale $U(x)$**: stabile se $U''(x_0)>0$; indifferente se $U''(x_0)=0$; instabile se $U''(x_0)<0$ --- ### **Pendoli e torsione (piccole oscillazioni)** - **Massa–molla**: $T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$ - **Pendolo semplice (lunghezza $L$)**: $T=2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}$ (per $\theta$ piccole) - **Pendolo fisico (asse a distanza $d$ dal CM)**: $T=2\pi\sqrt{\dfrac{I_A}{mgd}}$ - **Filo di torsione**: $M=\kappa\,\theta$,\ \ $T=2\pi\sqrt{\dfrac{I}{\kappa}}$ --- ### **Momenti d’inerzia (richiami utili)** - **Asse parallelo (Huygens–Steiner)**: $I_A=I_G+m d^2$ - **Lamina rettangolare ($b\times h$) su asse baricentrico $\perp$ al piano**: $I_G=\dfrac{m}{12}(b^2+h^2)$ - **Asta sottile (lunghezza $L$) per asse baricentrico $\perp$**: $I_G=\dfrac{mL^2}{12}$ --- ### **Esempi rapidi di equilibrio** - **Blocco su piano inclinato con forza orizzontale $F$**: $N=mg\cos\alpha + F\sin\alpha$ lungo il piano: $F\cos\alpha - mg\sin\alpha - F_{\text{attr}}=0$ - **Due molle in serie con carico $P$**: $x=x_1+x_2,\ \ P=k_1 x_1=k_2 x_2\ \Rightarrow\ k_{eq}=\dfrac{k_1 k_2}{k_1+k_2}$ --- ### **Potenza e rendimento (macchine ideali vs reali)** - **Potenza meccanica**: $P=\vec{F}\cdot\vec{v}$ - **Rendimento**: $\eta=\dfrac{L_{\text{utile}}}{L_{\text{assorbito}}}=\dfrac{P_{\text{out}}}{P_{\text{in}}}\le 1$ --- ## **3. Cinematica** ### **Moto Rettilineo Uniforme (MRU)** * **Legge oraria**: $s(t) = s_0 + v t$ * **Velocità media**: $v_m = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s_f - s_i}{t_f - t_i}$ ### **Moto Rettilineo Uniformemente Accelerato (MRUA)** * **Accelerazione**: $a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_f - v_i}{t_f - t_i}$ * **Legge della velocità**: $v(t) = v_0 + a t$ * **Legge oraria**: $s(t) = s_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a t^2$ * **Relazione velocità-spostamento**: $v_f^2 - v_i^2 = 2 a \Delta s$ ### **Casi Particolari di MRUA** * **Caduta libera (da fermo)**: $v(t) = g t$, $h(t) = \frac{1}{2} g t^2$, $v = \sqrt{2gh}$ * **Lancio verticale verso l'alto**: $v(t) = v_0 - gt$, $y(t) = v_0 t - \frac{1}{2} g t^2$ * **Tempo di salita**: $t_s = \frac{v_0}{g}$ * **Altezza massima**: $h_{max} = \frac{v_0^2}{2g}$ ### **Moto del Proiettile (Parabolico)** * **Componenti della velocità iniziale**: $v_{0x} = v_0 \cos \alpha$, $v_{0y} = v_0 \sin \alpha$ * **Leggi orarie del moto**: * Asse x (MRU): $x(t) = (v_0 \cos \alpha) t$ * Asse y (MRUA): $y(t) = (v_0 \sin \alpha) t - \frac{1}{2} g t^2$ * **Equazione della traiettoria**: $y = (\tan \alpha) x - \left( \frac{g}{2 v_0^2 \cos^2 \alpha} \right) x^2$ * **Gittata**: $G = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$ * **Altezza massima**: $H_{max} = \frac{(v_0 \sin \alpha)^2}{2g}$ * **Tempo di volo**: $t_v = \frac{2 v_0 \sin \alpha}{g}$ ### **Moto Circolare Uniforme (MCU)** * **Velocità angolare**: $\omega = \frac{\Delta \theta}{\Delta t}$ (rad/s) * **Periodo**: $T = \frac{2\pi}{\omega}$ * **Frequenza**: $f = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi}$ * **Relazione velocità tangenziale e angolare**: $v = \omega R$ * **Accelerazione centripeta**: $a_c = \frac{v^2}{R} = \omega^2 R$ ### **Moto Circolare Uniformemente Accelerato (MCUA)** * **Accelerazione angolare**: $\alpha = \frac{\Delta \omega}{\Delta t}$ * **Leggi del moto**: $\omega(t) = \omega_0 + \alpha t$, $\theta(t) = \theta_0 + \omega_0 t + \frac{1}{2}\alpha t^2$ * **Accelerazione tangenziale**: $a_t = \alpha R$ * **Accelerazione totale (vettore)**: $\vec{a} = \vec{a}_c + \vec{a}_t$, (modulo) $|\vec{a}| = \sqrt{a_c^2 + a_t^2}$ ### **Moto Armonico Semplice (MAS)** * **Legge oraria (proiezione di MCU)**: $x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$ * **Pulsazione (molla)**: $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ * **Pulsazione (pendolo)**: $\omega = \sqrt{\frac{g}{L}}$ * **Periodo (molla)**: $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ * **Periodo (pendolo)**: $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ * **Velocità nel MAS**: $v(t) = -A\omega \sin(\omega t + \phi)$ * **Accelerazione nel MAS**: $a(t) = -A\omega^2 \cos(\omega t + \phi) = -\omega^2 x(t)$ --- ## **4. Dinamica** ### **Principi della Dinamica (Leggi di Newton)** * **Primo Principio (Inerzia)**: Se $\sum \vec{F} = 0$, allora $\vec{v} = \text{costante}$. * **Secondo Principio**: $\vec{F} = m\vec{a}$ o $\sum \vec{F} = m\vec{a}$ * **Terzo Principio (Azione-Reazione)**: $\vec{F}_{AB} = -\vec{F}_{BA}$ ### **Forze Fondamentali e di Contatto** * **Forza peso**: $\vec{F}_p = m\vec{g}$ * **Forza elastica (Legge di Hooke)**: $\vec{F}_e = -k\vec{x}$ * **Forza di attrito statico**: $F_{as} \le \mu_s N$ (N = forza normale) * **Forza di attrito dinamico**: $F_{ad} = \mu_d N$ * **Forza centripeta**: $F_c = m a_c = m \frac{v^2}{R}$ ### **Lavoro ed Energia** * **Lavoro di una forza costante**: $L = \vec{F} \cdot \vec{s} = F s \cos \theta$ * **Potenza**: $P = \frac{L}{\Delta t} = \vec{F} \cdot \vec{v}$ * **Energia cinetica**: $K = \frac{1}{2} m v^2$ * **Teorema dell'energia cinetica (o delle forze vive)**: $L_{tot} = \Delta K = K_f - K_i$ * **Energia potenziale gravitazionale**: $U_g = mgh$ * **Lavoro della forza peso**: $L_p = -\Delta U_g = -(mgh_f - mgh_i)$ * **Energia potenziale elastica**: $U_e = \frac{1}{2} k x^2$ * **Lavoro della forza elastica**: $L_e = -\Delta U_e$ * **Forze conservative**: Il lavoro non dipende dal percorso ($L = -\Delta U$). * **Energia meccanica**: $E_m = K + U$ * **Conservazione dell'energia meccanica (solo forze conservative)**: $E_{m,i} = E_{m,f} \implies K_i + U_i = K_f + U_f$ * **Teorema di conservazione dell'energia (generale)**: $L_{nc} = \Delta E_m$ (Lavoro delle forze non conservative) ### **Quantità di Moto e Impulso** * **Quantità di moto**: $\vec{p} = m\vec{v}$ * **Impulso di una forza**: $\vec{I} = \vec{F} \Delta t$ * **Teorema dell'impulso**: $\vec{I} = \Delta \vec{p} = \vec{p}_f - \vec{p}_i$ * **Conservazione della quantità di moto (sistema isolato)**: $\sum \vec{p}_i = \sum \vec{p}_f$ ### **Urti** * **Urto anelastico**: Si conserva solo la quantità di moto. $m_1 v_{1i} + m_2 v_{2i} = (m_1+m_2)v_f$ * **Urto elastico**: Si conservano quantità di moto ed energia cinetica. * $m_1 v_{1i} + m_2 v_{2i} = m_1 v_{1f} + m_2 v_{2f}$ * $\frac{1}{2}m_1 v_{1i}^2 + \frac{1}{2}m_2 v_{2i}^2 = \frac{1}{2}m_1 v_{1f}^2 + \frac{1}{2}m_2 v_{2f}^2$ ### **Dinamica Rotazionale e Corpo Rigido** * **Momento di una forza (o momento torcente)**: $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$, (modulo) $\tau = r F \sin \theta$ * **Momento d'inerzia**: $I = \sum_i m_i r_i^2$ * **Equazione fondamentale della dinamica rotazionale**: $\sum \vec{\tau} = I \vec{\alpha}$ * **Momento angolare**: $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$, (per punto materiale) $L = mvr \sin \theta$ * **Momento angolare per corpo rigido**: $\vec{L} = I \vec{\omega}$ * **Conservazione del momento angolare**: Se $\sum \vec{\tau}_{est} = 0$, allora $\vec{L} = \text{costante}$. * **Energia cinetica rotazionale**: $K_{rot} = \frac{1}{2} I \omega^2$ * **Energia cinetica di un corpo che rototrasla**: $K = K_{trasl} + K_{rot} = \frac{1}{2} M v_{cm}^2 + \frac{1}{2} I_{cm} \omega^2$ --- ## **5. Meccanica dei Fluidi** ### **Fluidostatica** * **Densità**: $\rho = \frac{m}{V}$ * **Pressione**: $P = \frac{F_{\perp}}{A}$ * **Legge di Stevino**: $P = P_0 + \rho g h$ * **Pressione idrostatica**: $P_{idro} = \rho g h$ * **Principio di Pascal**: La pressione si trasmette inalterata in ogni punto del fluido. * **Legge di Archimede**: $F_A = \rho_{fluido} g V_{immerso}$ * **Condizione di galleggiamento**: $\rho_{corpo} < \rho_{fluido}$ ### **Fluidodinamica** * **Equazione di continuità (portata)**: $Q = A v = \text{costante} \implies A_1 v_1 = A_2 v_2$ * **Equazione di Bernoulli**: $P + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h = \text{costante}$ * **Effetto Venturi**: Se $A$ diminuisce, $v$ aumenta e $P$ diminuisce. * **Teorema di Torricelli**: $v = \sqrt{2gh}$ --- ## **6. Termologia e Termodinamica** ### **Temperatura e Calore** * **Conversione Celsius-Kelvin**: $T(K) = T(°C) + 273.15$ * **Dilatazione lineare**: $\Delta L = \alpha L_0 \Delta T \implies L = L_0(1+\alpha \Delta T)$ * **Dilatazione superficiale**: $\Delta A = \beta A_0 \Delta T \implies A = A_0(1+\beta \Delta T)$, con $\beta \approx 2\alpha$ * **Dilatazione volumica**: $\Delta V = \gamma V_0 \Delta T \implies V = V_0(1+\gamma \Delta T)$, con $\gamma \approx 3\alpha$ * **Capacità termica**: $C = \frac{Q}{\Delta T}$ * **Calore specifico**: $c = \frac{C}{m} = \frac{Q}{m \Delta T}$ * **Equazione della calorimetria**: $Q = m c \Delta T$ * **Equilibrio termico**: $\sum Q_i = 0 \implies Q_{assorbito} = -Q_{ceduto}$ * **Calore latente**: $Q = L m$ (per passaggi di stato) ### **Gas Perfetti** * **Equazione di stato dei gas perfetti**: $PV = nRT$ * **Costante universale dei gas**: $R = 8.314 \frac{J}{mol \cdot K}$ * **Numero di moli**: $n = \frac{N_{molecole}}{N_A} = \frac{massa}{M_{molare}}$ * **Legge di Boyle (isoterma)**: $P_1 V_1 = P_2 V_2$ * **Legge di Charles (isobara)**: $\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$ * **Legge di Gay-Lussac (isocora)**: $\frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2}$ * **Energia cinetica media di una molecola**: $\bar{K} = \frac{3}{2} k_B T$ * **Costante di Boltzmann**: $k_B = \frac{R}{N_A} \approx 1.38 \times 10^{-23} J/K$ * **Energia interna di un gas monoatomico**: $U = \frac{3}{2} nRT$ * **Energia interna di un gas biatomico**: $U = \frac{5}{2} nRT$ ### **Termodinamica** * **Primo Principio della Termodinamica**: $\Delta U = Q - L$ * **Lavoro di un gas (espansione)**: $L = \int_{V_i}^{V_f} P dV$ * **Trasformazione isocora ($V=cost$)**: $L=0 \implies \Delta U = Q$ * **Trasformazione isobara ($P=cost$)**: $L = P \Delta V \implies Q = \Delta U + P \Delta V$ * **Trasformazione isoterma ($T=cost$)**: $\Delta U = 0 \implies Q = L = nRT \ln\left(\frac{V_f}{V_i}\right)$ * **Trasformazione adiabatica ($Q=0$)**: $\Delta U = -L$; $PV^\gamma = \text{costante}$ * **Coefficiente adiabatico**: $\gamma = \frac{c_P}{c_V}$ * **Rendimento di una macchina termica**: $\eta = \frac{L_{tot}}{Q_{ass}} = 1 - \frac{|Q_{ced}|}{|Q_{ass}|}$ * **Rendimento del ciclo di Carnot**: $\eta_C = 1 - \frac{T_F}{T_C}$ (temperature in Kelvin) * **Teorema di Carnot**: $\eta \le \eta_C$ * **Variazione di entropia**: $\Delta S = \int \frac{dQ_{rev}}{T}$ * **Variazione di entropia (sorgente a T cost)**: $\Delta S = \frac{Q}{T}$ * **Secondo Principio della Termodinamica**: $\Delta S_{universo} \ge 0$ --- ## **7. Onde e Ottica** ### **Onde** * **Velocità di un'onda**: $v = \lambda f = \frac{\lambda}{T}$ * **Equazione di un'onda armonica**: $y(x,t) = A \sin(kx - \omega t + \phi_0)$ * **Numero d'onda**: $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ * **Pulsazione**: $\omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T}$ * **Velocità in una corda**: $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ (T=tensione, $\mu$=densità lineare) * **Onde stazionarie (corda con estremi fissi)**: $L = n \frac{\lambda_n}{2} \implies \lambda_n = \frac{2L}{n}$ * **Frequenze di risonanza**: $f_n = n \frac{v}{2L} = n f_1$ ### **Suono** * **Velocità del suono nell'aria (a 20°C)**: $\approx 343 \text{ m/s}$ * **Livello di intensità sonora (decibel)**: $\beta(dB) = 10 \log_{10}\left(\frac{I}{I_0}\right)$, con $I_0 = 10^{-12} W/m^2$ * **Effetto Doppler**: * Sorgente in movimento, osservatore fermo: $f' = f \left(\frac{v_{suono}}{v_{suono} \mp v_{sorgente}}\right)$ (- se si avvicina) * Osservatore in movimento, sorgente ferma: $f' = f \left(\frac{v_{suono} \pm v_{osservatore}}{v_{suono}}\right)$ (+ se si avvicina) ### **Ottica Geometrica** * **Legge della riflessione**: $\theta_i = \theta_r$ * **Indice di rifrazione**: $n = \frac{c}{v}$ * **Legge di Snell (rifrazione)**: $n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2$ * **Angolo limite (riflessione totale interna)**: $\sin \theta_{lim} = \frac{n_2}{n_1}$ (con $n_1 > n_2$) * **Equazione dei punti coniugati (specchi/lenti sottili)**: $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{f}$ * **Ingrandimento**: $G = -\frac{q}{p} = \frac{h'}{h}$ * **Equazione dei costruttori di lenti**: $\frac{1}{f} = (n-1)\left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)$ * **Potere diottrico**: $D = \frac{1}{f}$ (con f in metri) ### **Ottica Ondulatoria** * **Interferenza di Young (frange luminose)**: $d \sin \theta = m \lambda$ (con $m=0, 1, 2, ...$) * **Interferenza di Young (frange scure)**: $d \sin \theta = (m + \frac{1}{2}) \lambda$ * **Diffrazione da singola fenditura (minimi)**: $a \sin \theta = m \lambda$ (con $m=1, 2, 3, ...$) * **Diffrazione da reticolo (massimi)**: $d \sin \theta = m \lambda$ --- ## **8. Elettromagnetismo** ### **Elettrostatica** * **Carica elementare**: $e \approx 1.602 \times 10^{-19} C$ * **Legge di Coulomb**: $F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$ con $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \approx 8.99 \times 10^9 \frac{N m^2}{C^2}$ * **Campo elettrico (definizione)**: $\vec{E} = \frac{\vec{F}}{q_0}$ * **Campo elettrico di una carica puntiforme**: $E = k \frac{|Q|}{r^2}$ * **Teorema di Gauss**: $\Phi_{\Sigma}(\vec{E}) = \frac{Q_{int}}{\epsilon_0}$ * **Flusso del campo elettrico**: $\Phi(\vec{E}) = \int_{\Sigma} \vec{E} \cdot d\vec{A}$ * **Energia potenziale elettrica**: $U = k \frac{q_1 q_2}{r}$ * **Potenziale elettrico**: $V = \frac{U}{q_0} = k \frac{Q}{r}$ * **Differenza di potenziale**: $\Delta V = V_B - V_A = -\int_A^B \vec{E} \cdot d\vec{s} = \frac{L_{A \to B}}{q_0}$ * **Capacità di un condensatore**: $C = \frac{Q}{\Delta V}$ * **Capacità di un condensatore piano**: $C = \epsilon \frac{A}{d}$ (con $\epsilon = \epsilon_r \epsilon_0$) * **Energia immagazzinata in un condensatore**: $U = \frac{1}{2} Q \Delta V = \frac{1}{2} C (\Delta V)^2 = \frac{1}{2} \frac{Q^2}{C}$ ### **Correnti Elettriche** * **Corrente elettrica**: $i = \frac{\Delta Q}{\Delta t}$ * **Prima legge di Ohm**: $\Delta V = R i$ * **Resistività (Seconda legge di Ohm)**: $R = \rho \frac{L}{A}$ * **Potenza elettrica**: $P = \Delta V i = R i^2 = \frac{(\Delta V)^2}{R}$ * **Effetto Joule**: $Q = P \Delta t = R i^2 \Delta t$ * **Resistenze in serie**: $R_{eq} = R_1 + R_2 + ...$ * **Resistenze in parallelo**: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + ...$ * **Prima legge di Kirchhoff (nodi)**: $\sum i_{entranti} = \sum i_{uscenti}$ * **Seconda legge di Kirchhoff (maglie)**: $\sum \Delta V = 0$ ### **Magnetismo** * **Forza di Lorentz**: $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$ * **Forza magnetica su una carica**: $\vec{F}_m = q\vec{v} \times \vec{B}$, (modulo) $F_m = |q|vB\sin\theta$ * **Raggio della traiettoria circolare**: $r = \frac{mv}{|q|B}$ * **Forza su un filo percorso da corrente**: $\vec{F} = i \vec{L} \times \vec{B}$ * **Legge di Biot-Savart (filo rettilineo infinito)**: $B = \frac{\mu_0 i}{2\pi r}$ * **Legge di Ampère**: $\oint \vec{B} \cdot d\vec{s} = \mu_0 \sum i_{conc}$ * **Campo magnetico in un solenoide**: $B = \mu_0 n i$ (n = N/L) * **Flusso del campo magnetico**: $\Phi(\vec{B}) = \int_{\Sigma} \vec{B} \cdot d\vec{A}$ * **Teorema di Gauss per il magnetismo**: $\Phi_{\Sigma}(\vec{B}) = 0$ * **Legge di Faraday-Neumann-Lenz (induzione elettromagnetica)**: $f_{em} = - \frac{d\Phi(\vec{B})}{dt}$ * **Induttanza**: $L = \frac{\Phi(\vec{B})}{i}$ * **Autoinduzione**: $f_{em} = -L \frac{di}{dt}$ * **Energia immagazzinata in un induttore**: $U = \frac{1}{2} L i^2$ ### **Onde Elettromagnetiche** * **Equazioni di Maxwell (sintesi)**: 1. $\Phi_{\Sigma}(\vec{E}) = Q_{int}/\epsilon_0$ 2. $\Phi_{\Sigma}(\vec{B}) = 0$ 3. $\oint \vec{E} \cdot d\vec{s} = - \frac{d\Phi(\vec{B})}{dt}$ 4. $\oint \vec{B} \cdot d\vec{s} = \mu_0 (i_{conc} + \epsilon_0 \frac{d\Phi(\vec{E})}{dt})$ (con corrente di spostamento) * **Velocità della luce nel vuoto**: $c = \frac{1}{\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}} \approx 3 \times 10^8 \text{ m/s}$ * **Relazione campi E e B**: $E = cB$ * **Vettore di Poynting (intensità)**: $\vec{S} = \frac{1}{\mu_0} \vec{E} \times \vec{B}$ * **Intensità media (irradianza)**: $I = S_{medio} = \frac{1}{2} c \epsilon_0 E_{max}^2$ --- ## **9. Fisica Moderna** ### **Relatività Ristretta** * **Fattore di Lorentz**: $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}$ (con $\beta = v/c$) * **Dilatazione dei tempi**: $\Delta t = \gamma \Delta t_0$ ($\Delta t_0$ = tempo proprio) * **Contrazione delle lunghezze**: $L = \frac{L_0}{\gamma}$ ($L_0$ = lunghezza propria) * **Composizione relativistica delle velocità**: $v = \frac{v_1 + v_2}{1 + (v_1 v_2 / c^2)}$ * **Quantità di moto relativistica**: $\vec{p} = \gamma m_0 \vec{v}$ * **Energia a riposo**: $E_0 = m_0 c^2$ * **Energia totale relativistica**: $E = \gamma m_0 c^2 = \gamma E_0$ * **Energia cinetica relativistica**: $K = E - E_0 = (\gamma - 1) m_0 c^2$ * **Relazione energia-quantità di moto**: $E^2 = (pc)^2 + (m_0 c^2)^2$ ### **Meccanica Quantistica** * **Energia del fotone (Planck)**: $E = hf = \frac{hc}{\lambda}$ * **Costante di Planck**: $h \approx 6.626 \times 10^{-34} J \cdot s$ * **Effetto fotoelettrico**: $hf = L_{estrazione} + K_{max}$ * **Quantità di moto del fotone**: $p = \frac{h}{\lambda}$ * **Lunghezza d'onda di de Broglie**: $\lambda = \frac{h}{p}$ * **Principio di indeterminazione di Heisenberg**: * $\Delta x \Delta p_x \ge \frac{\hbar}{2}$ * $\Delta E \Delta t \ge \frac{\hbar}{2}$ (con $\hbar = h/2\pi$) * **Livelli energetici dell'atomo di idrogeno (modello di Bohr)**: $E_n = -\frac{13.6 \text{ eV}}{n^2}$ ## **1. Algebra di Base e Insiemi** ### **Operazioni e Insiemi** * **Unione**: $A \cup B = \{x \mid x \in A \lor x \in B\}$ * **Intersezione**: $A \cap B = \{x \mid x \in A \land x \in B\}$ * **Differenza**: $A \setminus B = \{x \mid x \in A \land x \notin B\}$ * **Prodotto cartesiano**: $A \times B = \{(a, b) \mid a \in A \land b \in B\}$ * **Proprietà distributiva**: $a(b+c) = ab + ac$ * **Valore assoluto**: $|x| = \begin{cases} x & \text{se } x \ge 0 \\ -x & \text{se } x < 0 \end{cases}$ ### **Prodotti Notevoli** * **Quadrato di un binomio**: $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$ * **Somma per differenza**: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ * **Cubo di un binomio**: $(a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3$ * **Somma di cubi**: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ * **Differenza di cubi**: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ * **Quadrato di un trinomio**: $(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$ ### **Equazioni e Disequazioni** * **Equazione di 2° grado**: $ax^2 + bx + c = 0$ * **Formula risolutiva**: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ * **Discriminante**: $\Delta = b^2 - 4ac$ * **Relazioni radici-coefficienti**: $x_1 + x_2 = -b/a$; $x_1 x_2 = c/a$ * **Equazioni fratte**: C.E. (denominatore $\neq 0$) * **Disequazioni con valore assoluto**: * $|A(x)| < k \implies -k < A(x) < k$ * $|A(x)| > k \implies A(x) < -k \lor A(x) > k$ * **Sistemi di equazioni (Metodo di Cramer)**: * $x = \frac{D_x}{D}$, $y = \frac{D_y}{D}$ ### **Logaritmi ed Esponenziali** * **Definizione di logaritmo**: $\log_a b = c \iff a^c = b$ * **Proprietà dei logaritmi**: * $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$ * $\log_a(x/y) = \log_a x - \log_a y$ * $\log_a(x^k) = k \log_a x$ * **Formula del cambio di base**: $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ * **Numero di Nepero**: $e \approx 2.71828$ * **Proprietà degli esponenziali**: * $a^x a^y = a^{x+y}$ * $a^x / a^y = a^{x-y}$ * $(a^x)^y = a^{xy}$ ### **Radicali** * **Radicale come potenza**: $\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$ * **Prodotto/quoziente di radicali**: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$ * **Radicali doppi**: $\sqrt{a \pm \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}} \pm \sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}$ --- ## **2. Geometria Analitica** ### **Piano Cartesiano** * **Distanza tra due punti**: $d(A,B) = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}$ * **Punto medio di un segmento**: $M\left(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2}\right)$ ### **Retta** * **Equazione in forma esplicita**: $y = mx + q$ * **Equazione in forma implicita**: $ax + by + c = 0$ * **Coefficiente angolare**: $m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \tan \alpha$ * **Retta passante per un punto**: $y - y_0 = m(x - x_0)$ * **Retta passante per due punti**: $\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$ * **Condizione di parallelismo**: $m_1 = m_2$ * **Condizione di perpendicolarità**: $m_1 \cdot m_2 = -1$ * **Distanza punto-retta**: $d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ ### **Parabola** * **Con asse verticale**: $y = ax^2 + bx + c$ * **Vertice**: $V\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a}\right)$ * **Fuoco**: $F\left(-\frac{b}{2a}, \frac{1-\Delta}{4a}\right)$ * **Asse di simmetria**: $x = -\frac{b}{2a}$ * **Direttrice**: $y = -\frac{1+\Delta}{4a}$ * **Con asse orizzontale**: $x = ay^2 + by + c$ ### **Circonferenza** * **Equazione**: $x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$ * **Centro**: $C\left(-\frac{a}{2}, -\frac{b}{2}\right)$ * **Raggio**: $r = \sqrt{\left(-\frac{a}{2}\right)^2 + \left(-\frac{b}{2}\right)^2 - c}$ * **Equazione (centro e raggio)**: $(x - x_C)^2 + (y - y_C)^2 = r^2$ ### **Ellisse** * **Equazione (centro nell'origine)**: $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ * **Relazione fuochi-semiassi**: $c^2 = a^2 - b^2$ (se $a>b$, fuochi su asse x) * **Fuochi**: $F_{1,2}(\pm c, 0)$ * **Eccentricità**: $e = \frac{c}{a}$ ### **Iperbole** * **Equazione (fuochi su asse x)**: $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ * **Relazione fuochi-semiassi**: $c^2 = a^2 + b^2$ * **Fuochi**: $F_{1,2}(\pm c, 0)$ * **Asintoti**: $y = \pm \frac{b}{a} x$ * **Iperbole equilatera**: $xy=k$ --- ## **3. Trigonometria** ### **Funzioni e Relazioni Fondamentali** * **Prima relazione fondamentale**: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ * **Seconda relazione fondamentale**: $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ * **Altre funzioni**: $\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha}$, $\sec \alpha = \frac{1}{\cos \alpha}$, $\csc \alpha = \frac{1}{\sin \alpha}$ ### **Formule di Addizione e Sottrazione** * $\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha \cos\beta \mp \sin\alpha \sin\beta$ * $\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha \cos\beta \pm \cos\alpha \sin\beta$ * $\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha \tan\beta}$ ### **Formule di Duplicazione** * $\sin(2\alpha) = 2 \sin\alpha \cos\alpha$ * $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$ * $\tan(2\alpha) = \frac{2 \tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha}$ ### **Formule di Bisezione** * $\sin(\alpha/2) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}}$ * $\cos(\alpha/2) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}}$ * $\tan(\alpha/2) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{1 + \cos\alpha}} = \frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha} = \frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}$ ### **Formule Parametriche** (con $t = \tan(x/2)$) * $\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$ * $\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ ### **Formule di Prostaferesi e Werner** * **Prostaferesi**: * $\sin p + \sin q = 2 \sin\frac{p+q}{2} \cos\frac{p-q}{2}$ * $\cos p + \cos q = 2 \cos\frac{p+q}{2} \cos\frac{p-q}{2}$ * **Werner**: * $\sin\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)]$ ### **Teoremi sui Triangoli Rettangoli** * **Primo teorema**: cateto = ipotenusa $\times$ seno dell'angolo opposto * **Secondo teorema**: cateto = ipotenusa $\times$ coseno dell'angolo adiacente ### **Teoremi sui Triangoli Qualsiasi** * **Teorema dei seni**: $\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R$ * **Teorema del coseno (o di Carnot)**: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos\alpha$ * **Area di un triangolo**: $A = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$ --- ## **4. Geometria Euclidea e Solida** ### **Aree e Perimetri (Figure Piane)** * **Triangolo**: $A = \frac{b \cdot h}{2}$; **Formula di Erone**: $A = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ * **Quadrato**: $A = l^2$; $P = 4l$ * **Rettangolo**: $A = b \cdot h$; $P = 2(b+h)$ * **Cerchio**: $A = \pi r^2$; $C = 2\pi r$ * **Trapezio**: $A = \frac{(B+b)h}{2}$ ### **Volumi e Superfici (Solidi)** * **Cubo**: $V = l^3$; $S_{tot} = 6l^2$ * **Parallelepipedo**: $V = a \cdot b \cdot c$; $S_{tot} = 2(ab+ac+bc)$ * **Cilindro**: $V = \pi r^2 h$; $S_{lat} = 2\pi rh$; $S_{tot} = 2\pi r(h+r)$ * **Cono**: $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$; $S_{lat} = \pi r a$; $S_{tot} = \pi r(a+r)$ (a = apotema) * **Sfera**: $V = \frac{4}{3}\pi r^3$; $S = 4\pi r^2$ * **Prisma**: $V = A_{base} \cdot h$ * **Piramide**: $V = \frac{1}{3} A_{base} \cdot h$ --- ## **5. Calcolo Combinatorio e Probabilità** ### **Calcolo Combinatorio** * **Fattoriale**: $n! = n(n-1)...1$ * **Disposizioni semplici**: $D_{n,k} = n(n-1)...(n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!}$ * **Permutazioni semplici**: $P_n = n!$ * **Combinazioni semplici**: $C_{n,k} = \binom{n}{k} = \frac{D_{n,k}}{k!} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ * **Binomio di Newton**: $(a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$ ### **Probabilità** * **Probabilità classica**: $P(E) = \frac{\text{casi favorevoli}}{\text{casi possibili}}$ * **Probabilità dell'evento contrario**: $P(\bar{E}) = 1 - P(E)$ * **Probabilità dell'unione (eventi incompatibili)**: $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ * **Probabilità dell'unione (eventi compatibili)**: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ * **Probabilità condizionata**: $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ * **Probabilità composta (eventi indipendenti)**: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ * **Probabilità composta (eventi dipendenti)**: $P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B)$ * **Teorema di Bayes**: $P(A|B) = \frac{P(B|A) P(A)}{P(B)}$ * **Distribuzione binomiale**: $P(k \text{ successi su } n \text{ prove}) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ --- ## **6. Analisi Matematica (Calcolo Infinitesimale)** ### **Limiti e Forme Indeterminate** * **Forme indeterminate**: $\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, 0 \cdot \infty, \infty - \infty, 1^\infty, 0^0, \infty^0$ * **Limiti notevoli**: * $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ * $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$ * $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$ * $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$ * $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ ### **Derivate** * **Definizione di derivata**: $f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}$ * **Regole di derivazione**: * $D[f(x) \pm g(x)] = f'(x) \pm g'(x)$ * $D[k \cdot f(x)] = k \cdot f'(x)$ * $D[f(x) \cdot g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$ * $D\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$ * $D[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ (regola della catena) * **Derivate fondamentali**: * $D[k] = 0$ * $D[x^n] = nx^{n-1}$ * $D[\sin x] = \cos x$ * $D[\cos x] = -\sin x$ * $D[e^x] = e^x$ * $D[\ln x] = 1/x$ * **Equazione della retta tangente**: $y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$ * **Teorema di de l'Hôpital**: Se $\lim \frac{f(x)}{g(x)}$ è $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$, allora $\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$ ### **Integrali** * **Integrale indefinito**: $\int f(x) dx = F(x) + c \iff F'(x) = f(x)$ * **Integrale definito**: $\int_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$ * **Teorema fondamentale del calcolo integrale**: $\frac{d}{dx} \int_a^x f(t) dt = f(x)$ * **Proprietà**: * $\int (f \pm g) dx = \int f dx \pm \int g dx$ * $\int k f(x) dx = k \int f(x) dx$ * **Integrazione per parti**: $\int f(x)g'(x) dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x) dx$ * **Integrazione per sostituzione**: $\int f(g(x))g'(x)dx = \int f(t)dt$ con $t=g(x)$ * **Calcolo di volumi (metodo delle fette)**: $V = \int_a^b A(x) dx$ * **Volume di un solido di rotazione**: $V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx$ # 300 Formule di Chimica e Scienze – Liceo Scientifico Scienze Applicate ## 1. Chimica Generale e Stechiometria 1. Legge di conservazione della massa: $m_{reagenti} = m_{prodotti}$ 2. Numero di moli: $n = \frac{m}{M}$ 3. Massa: $m = n \cdot M$ 4. Legge delle proporzioni definite: $\frac{m_A}{m_B} = \text{costante}$ 5. Legge delle proporzioni multiple: $\frac{m_{A1}}{m_{A2}} = \frac{n_1}{n_2}$ 6. Costante di Avogadro: $N = n \cdot N_A$ 7. Volume molare (CNTP): $V_m = 22,4 \ \text{L mol}^{-1}$ 8. Equazione di stato dei gas ideali: $PV = nRT$ 9. Pressione parziale: $P_i = y_i \cdot P_{tot}$ 10. Frazione molare: $y_i = \frac{n_i}{n_{tot}}$ 11. Densità di un gas: $d = \frac{PM}{RT}$ 12. Resa percentuale: $\%R = \frac{m_{ottenuta}}{m_{teorica}} \cdot 100$ 13. Titolo in massa: $t = \frac{m_{soluto}}{m_{soluzione}} \cdot 100$ 14. Titolo in volume: $t = \frac{V_{soluto}}{V_{soluzione}} \cdot 100$ 15. Molarità: $M = \frac{n_{soluto}}{V_{soluzione}}$ 16. Molalità: $m = \frac{n_{soluto}}{m_{solvente}}$ 17. Frazione molare (soluzioni): $x_i = \frac{n_i}{\sum n_i}$ 18. Diluizione: $M_1 V_1 = M_2 V_2$ 19. Legge delle pressioni parziali di Dalton: $P_{tot} = \sum P_i$ 20. Legge di Graham (diffusione): $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{M_2}{M_1}}$ --- ## 2. Termodinamica e Chimica Fisica 21. Energia interna: $\Delta U = Q - L$ 22. Calore specifico: $Q = m c \Delta T$ 23. Calore molare: $Q = n C_m \Delta T$ 24. Entalpia: $H = U + PV$ 25. Variazione di entalpia: $\Delta H = \Delta U + P\Delta V$ 26. Entropia: $\Delta S = \frac{Q_{rev}}{T}$ 27. Energia libera di Gibbs: $\Delta G = \Delta H - T \Delta S$ 28. Condizione spontaneità: $\Delta G < 0$ 29. Equilibrio chimico: $K_c = \frac{[prodotti]^p}{[reagenti]^r}$ 30. Relazione $\Delta G$: $\Delta G = -RT \ln K$ 31. Legge di Van’t Hoff: $\ln \frac{K_2}{K_1} = \frac{\Delta H}{R} \left(\frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2}\right)$ 32. Costante di equilibrio in termini di pressione: $K_p = K_c(RT)^{\Delta n}$ 33. Equazione di Arrhenius: $k = A e^{-E_a/RT}$ 34. Energia di attivazione: $E_a = -R \cdot \text{pendenza}$ 35. Velocità di reazione: $v = k [A]^m [B]^n$ 36. Legge della velocità iniziale: $v_0 = k [A]^m$ 37. Tempo di dimezzamento (I ordine): $t_{1/2} = \frac{0.693}{k}$ 38. Costante crioscopica: $\Delta T_f = K_f \cdot m$ 39. Costante ebullioscopica: $\Delta T_e = K_e \cdot m$ 40. Pressione osmotica: $\pi = iMRT$ --- ## 3. Equilibri e Acido-Base 41. Definizione pH: $pH = -\log[H^+]$ 42. pOH: $pOH = -\log[OH^-]$ 43. Relazione: $pH + pOH = 14$ (a 25 °C) 44. Kw: $K_w = [H^+][OH^-] = 1 \cdot 10^{-14}$ 45. Acido forte: $[H^+] = C$ 46. Base forte: $[OH^-] = C$ 47. Acido debole: $K_a = \frac{[H^+][A^-]}{[HA]}$ 48. Base debole: $K_b = \frac{[BH^+][OH^-]}{[B]}$ 49. Relazione $pK_a + pK_b = 14$ 50. Equazione di Henderson-Hasselbalch: $pH = pK_a + \log \frac{[A^-]}{[HA]}$ 51. Idrolisi sali: $K_h = \frac{K_w}{K_b} \ \ \text{oppure} \ \ \frac{K_w}{K_a}$ 52. Equilibrio di solubilità: $K_{ps} = [ioni]^n$ 53. Effetto ione comune: $s_{ridotta} < s_{pura}$ 54. Prodotto ionico: $Q = [ioni]^n$ 55. Precipitazione: se $Q > K_{ps}$ avviene precipitazione 56. Curva di titolazione: punto equivalente $n_{acido} = n_{base}$ 57. Conduttanza molare: $\Lambda_m = \frac{\kappa \cdot 1000}{C}$ 58. Conduttanza equivalente: $\Lambda_{eq} = \frac{\kappa \cdot 1000}{N}$ 59. Energia reticolare: $U = k \frac{Q_1 Q_2}{r}$ 60. Potenziale elettrochimico: $E_{cell} = E_{catodo} - E_{anodo}$ --- ## 4. Elettrochimica 61. Legge di Faraday: $m = \frac{Q}{F} \cdot \frac{M}{z}$ 62. Carica elettrica: $Q = I \cdot t$ 63. Numero di moli di elettroni: $n_e = \frac{Q}{F}$ 64. Energia elettrica: $L = n_e F E$ 65. Relazione Nernst: $E = E^0 - \frac{0.059}{n} \log Q$ 66. $\Delta G = -nFE$ 67. Capacità di una pila: $C = \frac{Q}{V}$ 68. Resistenza interna: $E = V + Ir$ 69. Efficienza: $\eta = \frac{E_{utile}}{E_{totale}} \cdot 100$ 70. Forza elettromotrice standard: $E^0_{cell} = E^0_{red}(catodo) - E^0_{red}(anodo)$ --- ## 5. Chimica Organica 71. Formula generale alcani: $C_n H_{2n+2}$ 72. Alceni: $C_n H_{2n}$ 73. Alchini: $C_n H_{2n-2}$ 74. Cicloalcani: $C_n H_{2n}$ 75. Grado di insaturazione: $DU = \frac{2C + 2 - H}{2}$ 76. Densità elettronica aromatici: $4n + 2$ (regola di Hückel) 77. Energia di legame: $\Delta H \approx \sum D_{legami_{rott}} - \sum D_{legami_{form}}$ 78. ΔH combustione: $\Delta H_c = \sum \Delta H_{prodotti} - \sum \Delta H_{reagenti}$ 79. Numero di isomeri: dipende da $n$ 80. Massa molare media: $\overline{M} = \sum x_i M_i$ 81. Resa teorica in polimerizzazione: $n = \frac{massa}{M_{unit}}$ 82. Potere calorifico: $PC = \frac{Q}{m}$ 83. Acidi carbossilici: $pK_a \approx 4-5$ 84. Ammine: $K_b$ medio $\approx 10^{-4}$ 85. Tautomeria: $K_{eq} = \frac{[forma\ enolica]}{[forma\ chetonica]}$ 86. Numero di stereoisomeri: $2^n$ (n = centri chirali) 87. Rotazione ottica: $[\alpha] = \frac{\alpha_{obs}}{l \cdot c}$ 88. Costante dielettrica solvente: influenza dissociazione 89. Costante di Markovnikov: addizione idrogeno segue regola 90. Regola di Zaitsev: alchene più sostituito è favorito --- ## 6. Biochimica e Biologia Molecolare 91. Legame fosfodiestere: $E \approx 30 \ \text{kJ mol}^{-1}$ 92. Legame peptidico: $E \approx 20 \ \text{kJ mol}^{-1}$ 93. Energia ATP: $\Delta G \approx -30.5 \ \text{kJ mol}^{-1}$ 94. Equazione fotosintesi: $6 CO_2 + 6 H_2O \to C_6H_{12}O_6 + 6 O_2$ 95. Equazione respirazione: $C_6H_{12}O_6 + 6 O_2 \to 6 CO_2 + 6 H_2O$ 96. Resa glicolisi: $1 \ glucose \to 2 \ ATP + 2 \ NADH + 2 \ piruvato$ 97. Resa ciclo di Krebs: $1 \ acetil-CoA \to 3 \ NADH + 1 \ FADH_2 + 1 \ ATP$ 98. Resa totale respirazione: $1 \ glucose \to 36-38 \ ATP$ 99. ΔG trasporto H+: $\Delta G = 2.3RT \Delta pH + F \Delta \psi$ 100. Legge di Beer-Lambert: $A = \varepsilon \cdot c \cdot l$ 101. Velocità enzimatica (Michaelis-Menten): $v = \frac{V_{max}[S]}{K_m + [S]}$ 102. Inibizione competitiva: $K_m^{app} = K_m (1+\frac{[I]}{K_i})$ 103. Inibizione non competitiva: $V_{max}^{app} = \frac{V_{max}}{1+[I]/K_i}$ 104. pI proteine: $pI = \frac{pK_a1+pK_a2}{2}$ 105. Energia legame idrogeno: $E \approx 4-20 \ \text{kJ mol}^{-1}$ 106. DNA: $1 \ giro \ = 10.5 \ \text{basi}$ 107. Lunghezza DNA: $l = n_{bp} \cdot 0.34 \ \text{nm}$ 108. Forza legame G-C: più forte di A-T 109. Trascrizione: $DNA \to mRNA$ 110. Traduzione: $mRNA \to proteina$ --- ## 7. Scienze della Terra 111. Peso specifico: $\gamma = \frac{P}{V}$ 112. Densità rocce: $\rho = \frac{m}{V}$ 113. Indice di rifrazione minerale: $n = \frac{c}{v}$ 114. Velocità onde sismiche P: $v_p = \sqrt{\frac{K+\frac{4}{3}\mu}{\rho}}$ 115. Velocità onde S: $v_s = \sqrt{\frac{\mu}{\rho}}$ 116. Modulo di Young: $E = \frac{\sigma}{\varepsilon}$ 117. Legge di Darcy (flusso acqua): $Q = -kA \frac{\Delta h}{\Delta l}$ 118. Equilibrio isostatico: $\rho_c h_c = \rho_m h_m$ 119. Gradiente geotermico medio: $G \approx 30^\circ C/km$ 120. Indice di Mohs: scala durezza 1-10 121. Pressione litostatica: $P = \rho g h$ 122. Forza gravitazionale Terra: $F = \frac{GMm}{R^2}$ 123. Velocità di fuga: $v = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ 124. Legge di Stokes (sedimenti): $v = \frac{2}{9}\frac{r^2(\rho_s-\rho_f)g}{\eta}$ 125. Equazione erosione: $E = f(\pioggia, pendenza, suolo)$ 126. Indice idrico falda: $i = \frac{h}{l}$ 127. Bilancio idrico: $P - ET - Q = \Delta S$ 128. Conduttività termica: $q = -k \frac{dT}{dx}$ 129. Scala Richter: $M = \log A - \log A_0$ 130. Energia sisma: $E \approx 10^{1.5M+4.8}$ --- ## 8. Astronomia e Cosmologia 131. Legge di gravitazione universale: $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$ 132. Orbita circolare: $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ 133. Periodo orbitale: $T^2 = \frac{4\pi^2}{GM} r^3$ 134. Energia orbitale: $E = -\frac{GMm}{2a}$ 135. Luminosità stella: $L = 4 \pi R^2 \sigma T^4$ 136. Magnitudine assoluta: $M = m - 5 \log \frac{d}{10}$ 137. Redshift: $z = \frac{\lambda_{oss}-\lambda_{em}}{\lambda_{em}}$ 138. Legge di Hubble: $v = H_0 d$ 139. Età universo: $t \approx \frac{1}{H_0}$ 140. Densità critica: $\rho_c = \frac{3H_0^2}{8\pi G}$ ## 9. Chimica Inorganica 141. Numero di ossidazione: $\text{NO} = \text{valenza} - e^-$ ceduti 142. Somma n.o. molecola neutra: $=0$ 143. Somma n.o. ione: $=$ carica ione 144. Legge dei gas combinati: $\frac{P_1V_1}{T_1}=\frac{P_2V_2}{T_2}$ 145. Legge di Boyle: $PV=k$ 146. Legge di Charles: $\frac{V}{T}=k$ 147. Legge di Gay-Lussac: $\frac{P}{T}=k$ 148. Tensione di vapore: $P_{vap} = P^0 \cdot x_{solvente}$ 149. Equazione di Clausius-Clapeyron: $\ln \frac{P_2}{P_1}=\frac{\Delta H_{vap}}{R}\left(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}\right)$ 150. Forza ionica: $I=\frac{1}{2}\sum c_i z_i^2$ 151. Energia reticolare (Born-Haber): $\Delta H_{ret}= \Delta H_{subl}+IE+\frac{1}{2}D-H_{EA}-\Delta H_f$ 152. Energia di ionizzazione: $X(g)\to X^+(g)+e^-$ 153. Affinità elettronica: $X(g)+e^- \to X^-(g)$ 154. Potere ossidante: cresce con $E^0_{red}$ 155. Potere riducente: cresce con $-E^0_{red}$ 156. Solubilità gas (legge di Henry): $c = k_H \cdot P$ 157. Equilibrio idratazione CO2: $CO_2+H_2O\leftrightarrow H_2CO_3$ 158. Solubilità sali basici: dipende da $pH$ 159. Idrolisi sali acidi: $HA^-\to H^++A^{2-}$ 160. Equilibrio complessi: $K_f=\frac{[ML_n]}{[M][L]^n}$ --- ## 10. Chimica Analitica 161. Resa titolazione: $n_{acido}=n_{base}$ 162. Normalità: $N=\frac{n_{equivalenti}}{V_{soluzione}}$ 163. Fattore di correzione: $f=\frac{valore\ reale}{valore\ titolato}$ 164. Punto equivalente: $V_{eq}= \frac{n_{acido}}{C_{base}}$ 165. Curva titolazione forte-forte: salto pH=7 166. Curva titolazione debole-forte: pH $\neq 7$ al punto eq. 167. Costante di formazione complessi: $K=\frac{[AB]}{[A][B]}$ 168. Legge Lambert-Beer (analitica): $A=\varepsilon cl$ 169. Limite di rilevabilità: $LOD=\frac{3\sigma}{slope}$ 170. Limite di quantificazione: $LOQ=\frac{10\sigma}{slope}$ 171. Indice di rifrazione soluzione: $n=\frac{\sin i}{\sin r}$ 172. Spettro assorbimento: $E=h\nu=hc/\lambda$ 173. Energia fotone: $E=1240/\lambda\ (eV,\ nm)$ 174. Potere risolutivo spettrometro: $R=\frac{\lambda}{\Delta \lambda}$ 175. Mobilità elettroforetica: $\mu=\frac{v}{E}$ 176. Efficienza cromatografica: $N=16\left(\frac{t_R}{w}\right)^2$ 177. Fattore di separazione: $\alpha=\frac{k'_2}{k'_1}$ 178. Fattore di capacità: $k'=\frac{t_R-t_0}{t_0}$ 179. Recupero analitico: $R=\frac{c_{misurata}}{c_{vera}}\cdot 100$ 180. Errore relativo: $\%E=\frac{|val_{sper}-val_{vero}|}{val_{vero}}\cdot 100$ --- ## 11. Chimica Organica Avanzata 181. Numero indice iodio: $I=\frac{gI_2}{100g\ sostanza}$ 182. Calcolo %C in idrocarburi: $\%C=\frac{12n}{massa\ molare}\cdot 100$ 183. pKa fenolo: $\approx 10$ 184. ΔH idrogenazione: misura stabilità aromatici 185. Regola di Huckel: $4n+2$ elettroni π = aromatico 186. Costante di reazione radicalica: $k\approx 10^6-10^9$ 187. Risonanza: energia di risonanza $=E_{calc}-E_{sper}$ 188. Energia torsionale: $E=\sum V_i\cos^2(\theta)$ 189. Conformeri cicloesano: sedia vs barca, ΔE≈20 kJ/mol 190. Numero H insaturazione: $IHD=\frac{2C+2-H+N-X}{2}$ 191. Polimerizzazione radicalica: $n=\frac{[M]_0-[M]}{[I]}$ 192. Resa Fischer esterificazione: dipende da $K_{eq}$ 193. Velocità SN1: $v=k[substrato]$ 194. Velocità SN2: $v=k[substrato][nucleofilo]$ 195. Effetto induttivo: $\delta=\frac{\Delta q}{\Delta r}$ 196. Stabilità carbocationi: $3^\circ>2^\circ>1^\circ>CH_3$ 197. Stabilità radicali: $3^\circ>2^\circ>1^\circ>CH_3$ 198. Numero di atomi equivalenti NMR: conteggio simmetrie 199. Spostamento chimico: $\delta=\frac{\nu-\nu_{TMS}}{\nu_0}\cdot 10^6$ 200. Costante J accoppiamento: $J=\nu_1-\nu_2$ --- ## 12. Biochimica Avanzata 201. Equilibrio ossigeno emoglobina: $Y=\frac{pO_2}{p50+pO_2}$ 202. Equazione Hill: $Y=\frac{(pO_2)^n}{p50^n+(pO_2)^n}$ 203. Energia legame ATP idrolisi: $-30.5\ \text{kJ mol}^{-1}$ 204. ΔG trasporto attivo: $\Delta G=RT\ln \frac{[S]_i}{[S]_o}+zF\Delta \psi$ 205. Potenziale di membrana (Nernst): $E=\frac{RT}{zF}\ln \frac{[ion]_o}{[ion]_i}$ 206. Energia fosforilazione ossidativa: $P/O\approx 2.5\ (NADH)$ 207. Bilancio glicolisi: $2ATP+2NADH$ 208. Bilancio ciclo Krebs: $3NADH+1FADH_2+1GTP$ 209. Bilancio totale respirazione: $36-38ATP$ 210. Energia fotosintesi: $hv+ADP+Pi\to ATP$ 211. Resa fotosintesi: $6CO_2+6H_2O\to C_6H_{12}O_6+6O_2$ 212. Indice di purezza DNA: $A_{260}/A_{280}\approx 1.8$ 213. Doppia elica: $10.5bp/turn$ 214. Velocità trascrizione: $\approx 50nt/s$ 215. Velocità traduzione: $\approx 20aa/s$ 216. ΔG legame ribosoma-mRNA: negativo 217. Km enzima: concentrazione substrato a $v=V_{max}/2$ 218. kcat: $k_{cat}=\frac{V_{max}}{[E]_t}$ 219. Efficienza catalitica: $\frac{k_{cat}}{K_m}$ 220. Energia folding proteine: ΔG≈ -20/40 kJ mol^-1 --- ## 13. Biologia Cellulare 221. ΔΨ membrana: $-70mV$ 222. Pressione osmotica cellula: $\pi=iMRT$ 223. Forza proton-motive: $\Delta p=\Delta \psi-59\Delta pH$ 224. Volume nucleo: $V=\frac{4}{3}\pi r^3$ 225. Lunghezza gene medio: $1kb=1000bp$ 226. Tempo ciclo cellulare: 24h (mammiferi) 227. Numero cromosomi umano: 2n=46 228. DNA umano: $\approx 3\cdot 10^9bp$ 229. Peso DNA umano: ≈3pg/cellula 230. Distanza gene-cM: $1cM≈1\%$ ricombinazione 231. Tempo duplicazione batteri: 20min (E. coli) 232. Numero ribosomi cellula: $10^5-10^6$ 233. ΔG trasporto glucosio GLUT: ≈0 234. ΔG pompa Na/K ATPasi: ≈-50kJ/mol 235. Potenziale acqua: $\Psi=\Psi_s+\Psi_p$ 236. Potenziale soluto: $\Psi_s=-iCRT$ 237. Potenziale pressione: $\Psi_p$ 238. Rendimento fotosistema II: 1 e^-/fotone 239. Rendimento fotosistema I: 1 e^-/fotone 240. ΔG trasporto e^- catena respiratoria: ≈-220kJ/mol --- ## 14. Scienze della Terra Avanzate 241. Legge di Gutenberg-Richter: $\log N=a-bM$ 242. Densità media Terra: $\rho=\frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3}$ 243. Gravità superficiale: $g=\frac{GM}{R^2}$ 244. Energia maree: $\Delta E\propto \frac{M}{r^3}$ 245. Velocità onde tsunami: $v=\sqrt{gh}$ 246. Equazione flusso glaciale: $Q=ub+hd\varepsilon$ 247. Indice insolazione: $I=\frac{S(1-\alpha)}{4}$ 248. Forzante radiativo: $F=\sigma T^4$ 249. Equilibrio radiazione Terra: $S(1-\alpha)/4=\sigma T^4$ 250. Albedo: $A=\frac{R_{riflessa}}{R_{incidente}}$ 251. Scala temperatura geotermica: $\Delta T=30^\circ/km$ 252. ΔH fusione rocce: ≈300kJ/kg 253. Indice saturazione acqua: $SI=\log\frac{IAP}{K_{sp}}$ 254. Equazione Milankovic: $C=f(e,i,\omega)$ 255. Equilibrio carbonati: $CO_2+H_2O\leftrightarrow H_2CO_3\leftrightarrow H^++HCO_3^-$ 256. Dissoluzione calcite: $CaCO_3\leftrightarrow Ca^{2+}+CO_3^{2-}$ 257. Pressione di vapore H2O: $e=RH\cdot e_s$ 258. Legge di Clausius-Clapeyron atmosfera: $\frac{d\ln e_s}{dT}=\frac{L}{RT^2}$ 259. Indice di stabilità atmosfera: $\Gamma=\frac{dT}{dz}$ 260. Velocità vento geostrofico: $v_g=\frac{1}{f\rho}\frac{dp}{dx}$ --- ## 15. Astronomia Avanzata 261. Luminosità: $L=4\pi R^2\sigma T^4$ 262. Relazione massa-luminosità: $L\propto M^{3.5}$ 263. Tempo vita stella: $\tau\approx \frac{M}{L}$ 264. Velocità rotazionale: $v=\frac{2\pi R}{P}$ 265. Densità media pianeta: $\rho=\frac{3M}{4\pi R^3}$ 266. Equilibrio idrostatico: $\frac{dP}{dr}=-\frac{GM(r)\rho}{r^2}$ 267. Equazione di stato stella: $P=\frac{\rho kT}{\mu m_H}$ 268. Frequenza ciclotrone: $\nu=\frac{eB}{2\pi m}$ 269. Potenza Larmor: $P=\frac{2e^2a^2}{3c^3}$ 270. Frequenza plasma: $\omega_p=\sqrt{\frac{n_e e^2}{\epsilon_0 m_e}}$ 271. Pressione radiazione: $P=\frac{1}{3}aT^4$ 272. Potere risolutivo telescopio: $\theta=1.22\frac{\lambda}{D}$ 273. Magnitudine: $m_2-m_1=-2.5\log\frac{I_2}{I_1}$ 274. Età ammasso globulare: $t=\frac{1}{H}$ 275. Equilibrio Jeans: $M_J\approx \left(\frac{5kT}{Gm}\right)^{3/2}\left(\frac{3}{4\pi \rho}\right)^{1/2}$ 276. Legge Stefan-Boltzmann: $j^*=\sigma T^4$ 277. Equazione Chandrasekhar: $M_{lim}\approx 1.44M_\odot$ 278. Energia legame gravitazionale stella: $U\approx -\frac{3GM^2}{5R}$ 279. Redshift gravitazionale: $z=\frac{\Delta \lambda}{\lambda}=\frac{GM}{Rc^2}$ 280. Equazione Friedmann: $\left(\frac{\dot a}{a}\right)^2=\frac{8\pi G}{3}\rho-\frac{k}{a^2}+\frac{\Lambda}{3}$ --- ## 16. Miscellanea e Approfondimenti 281. Costante di Planck: $E=h\nu$ 282. Relazione energia-massa: $E=mc^2$ 283. Equazione Einstein diffusione: $D=\mu kT$ 284. Relazione di De Broglie: $\lambda=\frac{h}{p}$ 285. Relazione Heisenberg: $\Delta x \Delta p\geq \frac{h}{4\pi}$ 286. Energia quanti fotoni: $E=\frac{hc}{\lambda}$ 287. Potere calorifico alimenti: kcal/g 288. Indice di respirazione: $RQ=\frac{CO_2}{O_2}$ 289. ΔH neutralizzazione: ≈-57kJ/mol 290. Energia legame H: 4-20kJ/mol 291. Legge Van’t Hoff osmosi: $\pi=iCRT$ 292. Rendimento fotosintesi: efficienza≈1-2% 293. Energia legame DNA: ≈200kJ/mol per giro 294. ΔG reazione: $\Delta G=\Delta G^0+RT\ln Q$ 295. Efficienza fotosintesi quantica: ≈8 fotoni/glucosio 296. Energia solare incidente Terra: $S\approx 1360W/m^2$ 297. ΔE cambio orbitale elettrone: $E=-\frac{13.6}{n^2}eV$ 298. Frequenza Bohr idrogeno: $\nu=R_Hc(\frac{1}{n_1^2}-\frac{1}{n_2^2})$ 299. Rydberg: $\frac{1}{\lambda}=R(\frac{1}{n_1^2}-\frac{1}{n_2^2})$ 300. Costante Rydberg: $R_H=1.097\cdot 10^7 m^{-1}$ ---
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