Certamente, continuo con la soluzione dell'Esercizio 9 e l'Esercizio 10. **Caso 2: \( -\frac{1}{2} \leq x < 3 \)** \[ 2x + 1 - (x - 3) = 7 \] \[ 2x + 1 - x + 3 = 7 \] \[ x + 4 = 7 \] \[ x = 3 \] Verifica: \( x = 3 \) non è valido in questo intervallo (\( x < 3 \)). **Caso 3: \( x < -\frac{1}{2} \)** \[ -(2x + 1) + (x - 3) = 7 \] \[ -2x - 1 + x - 3 = 7 \] \[ -x - 4 = 7 \] \[ -x = 11 \] \[ x = -11 \] Verifica: \( x = -11 \) è una soluzione valida perché \( -11 < -\frac{1}{2} \). **Soluzione finale:** \[ x = 3 \quad \text{oppure} \quad x = -11 \] ### Esercizio 10 \[ \frac{|x^2 - 4x|}{|x - 1|} = 2 \] **Soluzione:** 1. Consideriamo i quattro casi del valore assoluto: - Caso 1: \( x^2 - 4x \geq 0 \) e \( x - 1 \geq 0 \Rightarrow x(x - 4) \geq 0 \) e \( x \geq 1 \) - Caso 2: \( x^2 - 4x \geq 0 \) e \( x - 1 < 0 \Rightarrow x(x - 4) \geq 0 \) e \( x < 1 \) - Caso 3: \( x^2 - 4x < 0 \) e \( x - 1 \geq 0 \Rightarrow x(x - 4) < 0 \) e \( x \geq 1 \) - Caso 4: \( x^2 - 4x < 0 \) e \( x - 1 < 0 \Rightarrow x(x - 4) < 0 \) e \( x < 1 \) **Caso 1: \( x \geq 1 \) e \( x(x - 4) \geq 0 \)** \[ \frac{x(x - 4)}{x - 1} = 2 \] \[ x(x - 4) = 2(x - 1) \] \[ x^2 - 4x = 2x - 2 \] \[ x^2 - 6x + 2 = 0 \] Usiamo la formula quadratica: \[ x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 8}}{2} \] \[ x = \frac{6 \pm \sqrt{28}}{2} \] \[ x = \frac{6 \pm 2\sqrt{7}}{2} \] \[ x = 3 \pm \sqrt{7} \] Verifica: \[ 3 + \sqrt{7} > 1 \quad \text{e} \quad 3 - \sqrt{7} < 1 \] Quindi, \( x = 3 + \sqrt{7} \) è valido, ma \( x = 3 - \sqrt{7} \) non è valido in questo caso. **Caso 2: \( x < 1 \) e \( x(x - 4) \geq 0 \)** \[ x(x - 4) = 2(x - 1) \] Nessun \( x \) soddisfa entrambe le condizioni. **Caso 3: \( x \geq 1 \) e \( x(x - 4) < 0 \)** \[ \frac{-(x(x - 4))}{x - 1} = 2 \] \[ \frac{-x^2 + 4x}{x - 1} = 2 \] \[ -x^2 + 4x = 2(x - 1) \] \[ -x^2 + 4x = 2x - 2 \] \[ -x^2 + 2x + 2 = 0 \] Usiamo la formula quadratica: \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 8}}{-2} \] \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{-2} \] \[ x = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{-2} \] \[ x = 1 \pm \sqrt{3} \] Verifica: \[ 1 + \sqrt{3} \geq 1 \quad \text{e} \quad 1 - \sqrt{3} < 1 \] Quindi, \( x = 1 + \sqrt{3} \) è valido, ma \( x = 1 - \sqrt{3} \) non è valido in questo caso. **Caso 4: \( x < 1 \) e \( x(x - 4) < 0 \)** \[ \frac{-(x(x - 4))}{x - 1} = 2 \] \[ \frac{-x^2 + 4x}{x - 1} = 2 \] \[ -x^2 + 4x = 2(x - 1) \] \[ -x^2 + 4x = 2x - 2 \] \[ -x^2 + 2x + 2 = 0 \] Usiamo la formula quadratica: \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 8}}{-2} \] \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{-2} \] \[ x = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{-2} \] \[ x = 1 \pm \sqrt{3} \] Verifica: \[ 1 - \sqrt{3} < 1 \quad \text{e} \quad 1 + \sqrt{3} < 1 \] Quindi, \( x = 1 - \sqrt{3} \) è valido. **Soluzione finale:** \[ x = 3 + \sqrt{7} \quad \text{oppure} \quad x = 1 + \sqrt{3} \quad \text{oppure} \quad x = 1 - \sqrt{3} \] Spero che questi esercizi siano utili! Se hai bisogno di ulteriori chiarimenti, fammelo sapere.