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Capitolo 120
Forma trigonometrica ed esponenziale

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\(e^{i\pi } + 1 = 0\). In una sola riga, cinque costanti fondamentali della matematica si incontrano: \(e\) (base dell’esponenziale), \(i\) (unità immaginaria), \(\pi \) (rapporto cerchio-diametro), \(1\) (unità moltiplicativa), \(0\) (unità additiva). È la formula di Eulero, e prima di lei nessuno aveva immaginato che potessero coesistere in modo così armonioso.”

— Leonhard Euler, Introductio in analysin infinitorum (1748) — prima formulazione della relazione \(e^{i\theta } = \cos \theta + i\operatorname{sen} \theta \), da cui discende l’identità più celebre della matematica

____________________________________________________________________________________

120.1 Introduzione motivazionale

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Nel capitolo precedente (88) abbiamo introdotto i numeri complessi nella loro forma algebrica \(z = a + ib\), con parte reale \(a\) e parte immaginaria \(b\). Questa forma è ottima per somme e differenze, ma diventa scomoda per prodotti, potenze, radici.

In questo capitolo introduciamo due rappresentazioni alternative:

Queste rappresentazioni:

120.2 Modulo e argomento

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Definizione 120.1 — Piano complesso

Identifichiamo ogni numero complesso \(z = a + ib\) con il punto \((a, b)\) del piano cartesiano. Il piano così descritto si chiama piano complesso (o piano di Argand-Gauss).

Modulo

Definizione 120.2 — Modulo di un numero complesso

Il modulo di \(z = a + ib\) è la distanza del punto \((a, b)\) dall’origine:

\[ |z| = \rho = \sqrt {a^2 + b^2}. \]

Proprietà del modulo:

Argomento

Definizione 120.3 — Argomento

L’argomento di \(z = a + ib \ne 0\) è l’angolo \(\theta \) (in radianti, misurato in senso antiorario dall’asse positivo delle reali) formato dal vettore \(\vec {OP}\) con \(P = (a, b)\).

Argomento: l’angolo \(\theta \) è caratterizzato dalle due condizioni

\[ \cos \theta = \frac {a}{\rho }, \qquad \operatorname{sen} \theta = \frac {b}{\rho }. \]

È definito a meno di multipli di \(2\pi \): \(\theta + 2k\pi \) con \(k \in \mathbb{Z} \) è anch’esso un argomento.

Argomento principale. Per univocità, si sceglie usualmente l’argomento \(\theta \in (-\pi , \pi ]\) (oppure \([0, 2\pi )\), a seconda della convenzione) e lo si chiama argomento principale \(\arg (z)\).

[Picture]

Figura 120.1: Piano di Argand-Gauss. Il numero complesso \(z = a + ib\) è rappresentato dal punto \((a, b)\). Il vettore \(\vec {Oz}\) ha modulo \(\rho = \sqrt {a^2+b^2}\) e forma con l’asse reale l’angolo \(\theta = \arg (z)\).

Calcolo dell’argomento

Procedura  — Calcolo di \(\arg (z)\)

Dato \(z = a + ib \ne 0\):

1.
Calcolare \(\rho = \sqrt {a^2 + b^2}\).
2.
Determinare il quadrante di \((a, b)\):
  • I quadrante (\(a > 0, b > 0\)): \(\theta = \operatorname{arctg} (b/a)\);
  • II quadrante (\(a < 0, b > 0\)): \(\theta = \pi + \operatorname{arctg} (b/a)\);
  • III quadrante (\(a < 0, b < 0\)): \(\theta = -\pi + \operatorname{arctg} (b/a)\);
  • IV quadrante (\(a > 0, b < 0\)): \(\theta = \operatorname{arctg} (b/a)\) (negativo);
  • Asse reale positivo (\(b = 0, a > 0\)): \(\theta = 0\);
  • Asse reale negativo (\(b = 0, a < 0\)): \(\theta = \pi \);
  • Asse immaginario positivo (\(a = 0, b > 0\)): \(\theta = \pi /2\);
  • Asse immaginario negativo (\(a = 0, b < 0\)): \(\theta = -\pi /2\).

120.3 Forma trigonometrica

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Definizione 120.4 — Forma trigonometrica

Un numero complesso \(z \ne 0\) può essere scritto come

\[ z = \rho (\cos \theta + i\operatorname{sen} \theta ), \]

con \(\rho = |z|\) e \(\theta = \arg (z)\). Questa è la forma trigonometrica (o forma polare) di \(z\).

Verifica. Da \(a = \rho \cos \theta \) e \(b = \rho \operatorname{sen} \theta \):

\[ z = a + ib = \rho \cos \theta + i\rho \operatorname{sen} \theta = \rho (\cos \theta + i\operatorname{sen} \theta ). \]

Conversioni fra forme

Da algebrica a trigonometrica: \(z = a + ib \to \rho = \sqrt {a^2+b^2}\), \(\theta = \arg (z)\).

Da trigonometrica ad algebrica: \(z = \rho (\cos \theta + i\operatorname{sen} \theta ) \to a = \rho \cos \theta \), \(b = \rho \operatorname{sen} \theta \).

Numeri complessi notevoli in forma trigonometrica

120.4 Formula di Eulero

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Definizione 120.5 — Formula di Eulero

Per ogni \(\theta \in \mathbb{R} \) vale

\[ e^{i\theta } = \cos \theta + i\operatorname{sen} \theta . \]

È la formula di Eulero (1748).

Significato. La formula collega tre funzioni apparentemente lontane:

La sintesi è realizzata tramite uno sviluppo in serie di potenze (cap. 154, fuori dal nostro programma): \(e^{i\theta }\), \(\cos \theta \), \(\operatorname{sen} \theta \) sviluppati come serie hanno coefficienti che si combinano esattamente come richiesto dalla formula.

L’identità di Eulero

Sostituendo \(\theta = \pi \) nella formula:

\[ e^{i\pi } = \cos \pi + i\operatorname{sen} \pi = -1 + 0 = -1, \]

da cui

Identità di Eulero:

\[ e^{i\pi } + 1 = 0. \]

È considerata da molti la formula più bella della matematica: contiene le cinque costanti fondamentali \(0, 1, i, e, \pi \) legate dalle operazioni di addizione, moltiplicazione e elevamento a potenza.

Conseguenze della formula di Eulero

Sostituendo \(\theta \to -\theta \) in \(e^{i\theta } = \cos \theta + i\operatorname{sen} \theta \) e usando le proprietà di pari/dispari:

\[ e^{-i\theta } = \cos \theta - i\operatorname{sen} \theta . \]

Sommando e sottraendo le due:

Formule inverse di Eulero:

\[ \cos \theta = \frac {e^{i\theta } + e^{-i\theta }}{2}, \qquad \operatorname{sen} \theta = \frac {e^{i\theta } - e^{-i\theta }}{2i}. \]

Sono le relazioni inverse che esprimono seno e coseno tramite l’esponenziale complesso. Sono utilissime in analisi (calcolo di integrali) e fisica (oscillatori, segnali).

120.5 Forma esponenziale

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Definizione 120.6 — Forma esponenziale

Combinando la forma trigonometrica con la formula di Eulero:

\[ z = \rho (\cos \theta + i\operatorname{sen} \theta ) = \rho \, e^{i\theta }. \]

È la forma esponenziale di \(z\), con \(\rho = |z|\) e \(\theta = \arg (z)\).

Vantaggi della forma esponenziale

La forma esponenziale è particolarmente elegante per moltiplicazioni, divisioni e potenze, grazie alle proprietà delle potenze:

Operazioni in forma esponenziale:

\[ z_1 \cdot z_2 = (\rho _1 e^{i\theta _1})(\rho _2 e^{i\theta _2}) = \rho _1 \rho _2 \, e^{i(\theta _1 + \theta _2)}, \]
\[ \frac {z_1}{z_2} = \frac {\rho _1}{\rho _2} \, e^{i(\theta _1 - \theta _2)}, \]
\[ z^n = (\rho e^{i\theta })^n = \rho ^n \, e^{in\theta }. \]

Numeri complessi notevoli in forma esponenziale

Coniugato in forma esponenziale

Se \(z = \rho e^{i\theta }\), allora \(\overline {z} = \rho e^{-i\theta }\). (Il modulo è lo stesso, l’argomento cambia segno.)

Reciproco in forma esponenziale

\(1/z = (1/\rho ) e^{-i\theta }\). (Modulo invertito, argomento opposto.)

Interpretazione geometrica della moltiplicazione

Quando moltiplichiamo \(z_1\) per \(z_2\):

In particolare, moltiplicare per \(i\) (che ha modulo \(1\) e argomento \(\pi /2\)) corrisponde a una rotazione di \(90°\) antioraria. Moltiplicare per \(e^{i\theta }\) è una rotazione di \(\theta \) (a modulo \(1\)). Questa interpretazione geometrica è centrale in molte applicazioni (fasori in elettrotecnica, segnali, ottica).

120.6 Esempi svolti

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Esempio 120.1 — Da algebrica a trigonometrica

Scrivere \(z = -1 + i\sqrt {3}\) in forma trigonometrica.

Modulo: \(\rho = \sqrt {1 + 3} = 2\).

Quadrante: \(a = -1 < 0\), \(b = \sqrt {3} > 0\) \(\rightarrow \) II quadrante.

Argomento: \(\operatorname{arctg} (b/a) = \operatorname{arctg} (-\sqrt {3}) = -\pi /3\), ma siamo nel II quadrante, quindi \(\theta = \pi - \pi /3 = 2\pi /3\).

Forma trigonometrica: \(z = 2(\cos (2\pi /3) + i\operatorname{sen} (2\pi /3))\).

Forma esponenziale: \(z = 2 \, e^{i 2\pi /3}\).

Verifica: \(2(\cos (2\pi /3) + i\operatorname{sen} (2\pi /3)) = 2(-1/2 + i\sqrt {3}/2) = -1 + i\sqrt {3}\). \(\checkmark\)

Esempio 120.2 — Da esponenziale ad algebrica

Scrivere \(z = 3 \, e^{i\pi /4}\) in forma algebrica.

Algebra: \(z = 3(\cos (\pi /4) + i\operatorname{sen} (\pi /4)) = 3(\sqrt {2}/2 + i\sqrt {2}/2) = (3\sqrt {2}/2)(1 + i)\).

Esempio 120.3 — Prodotto via forma esponenziale

Calcolare \(z_1 \cdot z_2\) con \(z_1 = 2 e^{i\pi /6}\) e \(z_2 = 3 e^{i\pi /3}\).

Algebra: \(z_1 z_2 = 6 \, e^{i(\pi /6 + \pi /3)} = 6 \, e^{i\pi /2} = 6 i\).

Verifica algebrica: \(z_1 = 2(\cos 30° + i\operatorname{sen} 30°) = \sqrt {3} + i\), \(z_2 = 3(\cos 60° + i\operatorname{sen} 60°) = 3/2 + i 3\sqrt {3}/2\). Prodotto:

\[ (\sqrt {3} + i)(3/2 + i 3\sqrt {3}/2) = 3\sqrt {3}/2 + i 3 \cdot 3/2 + i 3/2 - 3\sqrt {3}/2 = 0 + i (9/2 + 3/2) = 6i. \]

\(\checkmark\)

Esempio 120.4 — Calcolo veloce di una potenza

Calcolare \((1 + i)^{10}\).

Forma esponenziale di \(1 + i\): \(\rho = \sqrt {2}\), \(\theta = \pi /4\). Dunque \(1 + i = \sqrt {2} e^{i\pi /4}\).

Potenza: \((1+i)^{10} = (\sqrt {2})^{10} e^{i \cdot 10\pi /4} = 32 \cdot e^{i 5\pi /2}\).

Riduzione: \(5\pi /2 = 2\pi + \pi /2\), dunque \(e^{i 5\pi /2} = e^{i\pi /2} = i\).

Risultato: \((1+i)^{10} = 32 i\).

Conferma. \((1+i)^2 = 2i\), \((1+i)^4 = (2i)^2 = -4\), \((1+i)^8 = 16\), \((1+i)^{10} = 16 \cdot (1+i)^2 = 16 \cdot 2i = 32 i\). \(\checkmark\)

Esempio 120.5 — Identità di Eulero in azione

Calcolare \(e^{i\pi }\), \(e^{i\pi /2}\), \(e^{i 2\pi }\).

Algebra:

Curiosità. \(e^{i 2\pi k} = 1\) per ogni \(k \in \mathbb{Z} \). È il motivo per cui l’argomento di un numero complesso è definito a meno di \(2\pi \).

Esempio 120.6 — Coseno e seno tramite l’esponenziale

Calcolare \(\cos (\pi /3) + \cos (2\pi /3)\) usando le formule inverse di Eulero.

Trasformazione:

\[ \cos (\pi /3) + \cos (2\pi /3) = \frac {e^{i\pi /3} + e^{-i\pi /3} + e^{i 2\pi /3} + e^{-i 2\pi /3}}{2}. \]

Numericamente: \(e^{i\pi /3} = (1 + i\sqrt {3})/2\), \(e^{-i\pi /3} = (1 - i\sqrt {3})/2\), somma \(= 1\). Analogamente \(e^{i 2\pi /3} + e^{-i 2\pi /3} = -1\).

Totale: \((1 - 1)/2 = 0\). \(\checkmark\)(In effetti \(\cos (\pi /3) = 1/2\) e \(\cos (2\pi /3) = -1/2\).)

Esempio 120.7 — Rotazione tramite moltiplicazione per \(i\)

Sia \(z = 2 + 3i\). Calcolare \(iz\), \(i^2 z\), \(i^3 z\), e disegnarli geometricamente.

Algebra:

Interpretazione: ogni moltiplicazione per \(i\) ruota il punto di \(\pi /2\) in senso antiorario. Quattro rotazioni di \(\pi /2\) = giro completo, e il punto torna al punto di partenza.

120.7 Esercizi proposti

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Esercizio 120.1

1.
Scrivere in forma trigonometrica ed esponenziale:
(a)
\(z = 1\);
(b)
\(z = -3\);
(c)
\(z = 2i\);
(d)
\(z = -5i\);
(e)
\(z = 1 + i\);
(f)
\(z = -1 - i\);
(g)
\(z = \sqrt {3} - i\);
(h)
\(z = -1 + i\sqrt {3}\).
2.
Scrivere in forma algebrica:
(a)
\(z = 4(\cos (\pi /3) + i\operatorname{sen} (\pi /3))\);
(b)
\(z = 2 e^{i\pi /6}\);
(c)
\(z = \sqrt {2} e^{i 3\pi /4}\);
(d)
\(z = 5 e^{-i\pi /2}\);
(e)
\(z = 3(\cos (5\pi /6) + i\operatorname{sen} (5\pi /6))\).
3.
Calcolare i seguenti prodotti usando la forma esponenziale:
(a)
\((2 e^{i\pi /4})(3 e^{i\pi /4})\);
(b)
\((\sqrt {2} e^{i\pi /3}) \cdot (\sqrt {8} e^{-i\pi /6})\);
(c)
\((1 + i)(\sqrt {3} - i)\) (passando per la forma esponenziale, poi tornando all’algebrica).
4.
Calcolare i quozienti:
(a)
\((6 e^{i 2\pi /3}) / (2 e^{i\pi /6})\);
(b)
\((\sqrt {8} e^{i\pi /4}) / (\sqrt {2} e^{-i\pi /4})\).
5.
Calcolare le seguenti potenze in modo rapido (forma esponenziale):
(a)
\((1 + i)^8\);
(b)
\((\sqrt {3} + i)^6\);
(c)
\(i^{100}\);
(d)
\((-1 + i\sqrt {3})^5\).
6.
Verificare l’identità di Eulero \(e^{i\pi } + 1 = 0\) numericamente usando la formula \(e^{i\theta } = \cos \theta + i\operatorname{sen} \theta \).
7.
Mostrare che, per ogni \(z = \rho e^{i\theta } \ne 0\):
(a)
\(\overline {z} = \rho e^{-i\theta }\);
(b)
\(1/z = (1/\rho ) e^{-i\theta }\);
(c)
\(z \cdot \overline {z} = \rho ^2\).
8.
Determinare modulo e argomento principale di:
(a)
\(z = (1+i)/(1-i)\);
(b)
\(z = (\sqrt {3} + i)/(1 + i)\);
(c)
\(z = (1 + i)^4 / (1 - i)^3\).
9.
Mostrare, usando la formula di Eulero, che \(\cos ^2\theta + \operatorname{sen} ^2\theta = 1\). (Suggerimento: \(|e^{i\theta }|^2 = 1\).)
10.
Sfida. Dimostrare le formule di addizione per seno e coseno usando \(e^{i(\alpha +\beta )} = e^{i\alpha } \cdot e^{i\beta }\). (Suggerimento: espandere entrambi i lati e identificare parte reale e parte immaginaria.)
11.
Calcolare la somma \(1 + e^{i\pi /3} + e^{i 2\pi /3} + e^{i\pi } + e^{i 4\pi /3} + e^{i 5\pi /3}\) (le sei radici seste dell’unità). (Risposta: \(0\). Vedi cap. 121 per la spiegazione completa.)
12.
Disegnare nel piano di Argand-Gauss i seguenti numeri complessi e i loro coniugati:
(a)
\(z = 3 + 4i\);
(b)
\(z = 2 e^{i\pi /3}\);
(c)
\(z = -1 - i\).
13.
In elettrotecnica, una corrente alternata si rappresenta come fasore \(\tilde {I} = I_0 e^{i\omega t}\). Mostrare che, prendendo la parte reale, si ottiene una funzione \(\Re (\tilde {I}) = I_0 \cos (\omega t)\).
14.
Sfida (formula di Moivre-Stirling). Mostrare che \((\cos \theta + i\operatorname{sen} \theta )^n = \cos (n\theta ) + i\operatorname{sen} (n\theta )\) per ogni \(n \in \mathbb{Z} \). (Conseguenza diretta di \(e^{i\theta n} = (e^{i\theta })^n\); vedremo il caso \(n\) intero in cap. 121.)
15.
Mostrare che, per ogni numero complesso \(z \ne 0\), esiste un solo numero complesso \(w\) con \(|w| = 1\) e \(z = |z| \cdot w\). Esprimere \(w\) in funzione di \(z\).
16.
Per quali valori di \(\theta \in [0, 2\pi )\) vale \(e^{i\theta } = \overline {e^{i\theta }}\)? (Risposta: \(\theta = 0\) o \(\theta = \pi \).)

120.8 Riepilogo del capitolo

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