1. \( P(\emptyset) \) è un insieme vuoto.
2. \( P(A \cup B) \) è sempre uguale a \( P(A) \cup P(B) \).
3. Certamente, ecco altre 20 affermazioni formalmente scorrette riguardanti insiemi e loro operazioni, con l'uso di simboli e termini come insieme delle parti, partizione, e cardinalità:
4. Due insiemi \( A \) e \( B \) sono detti disgiunti se \( A \cap B = \emptyset \).
5. Due insiemi sono disgiunti se hanno almeno un elemento in comune.
6. Il complemento di un insieme \( A \) rispetto a un insieme \( B \), denotato \( B - A \), contiene tutti gli elementi di \( B \) che non sono in \( A \).
7. Il complemento di un insieme A rispetto a un insieme B contiene tutti gli elementi di A più alcuni elementi di B.
8. Il prodotto cartesiano di \( A \) e \( B \), denotato \( A \times B \), è l'insieme di tutte le coppie ordinate \( (a, b) \) dove \( a \) è in \( A \) e \( b \) è in \( B \).
9. Il prodotto cartesiano di un insieme con se stesso è sempre un insieme vuoto.
10. Il simbolo \( |A \times A| \) rappresenta la cardinalità dell'unione di \( A \) con se stesso.
11. Il simbolo \( A \times B \) denota l'unione di \( A \) e \( B \).
12. L'insieme delle parti di un insieme \( A \), denotato \( P(A) \), è l'insieme di tutti i possibili sottoinsiemi di \( A \) inclusi \( A \) stesso e l'insieme vuoto \( \emptyset \).
13. L'insieme delle parti di un insieme è un suo sottoinsieme.
14. L'insieme delle parti di un insieme infinito è un insieme finito.
15. L'insieme vuoto \( \emptyset \) è un sottoinsieme di ogni insieme.
16. L'insieme vuoto contiene un elemento unico, che è il simbolo di insieme vuoto.
17. L'intersezione di due insiemi \( A \cap B \) contiene tutti gli elementi che sono sia in \( A \) che in \( B \).
18. L'intersezione di due insiemi può contenere elementi che non appartengono ad alcuno dei due insiemi.
19. L'unione di due insiemi è sempre un insieme più piccolo dei due insiemi di partenza.
20. La cardinalità dell'insieme delle parti di \( A \), denotata con \( |P(A)| \), è uguale a \( |A| \).
21. La cardinalità dell'insieme vuoto \( |\emptyset| \) è 0.
22. La cardinalità dell'insieme vuoto \( |\emptyset| \) è 1.
23. La cardinalità di un insieme \( A \), denotata \( |A| \), è il numero di sottoinsiemi propri che \( A \) possiede.
24. La cardinalità di un insieme finito \( A \), denotata \( |A| \), è il numero di elementi in \( A \).
25. La differenza simmetrica di un insieme con se stesso contiene tutti gli elementi di quell'insieme.
26. La relazione \( |A \times B| = |A| + |B| \) è sempre vera per qualsiasi insieme \( A \) e \( B \).
27. La relazione \( |P(A)| = 2^{|A|} \) vale per ogni insieme finito \( A \).
28. Ogni insieme è un sottoinsieme dell'insieme delle parti di se stesso, cioè \( A \subseteq P(A) \).
29. Per qualsiasi insieme \( A \), il simbolo \( A - A \) rappresenta il suo insieme delle parti.
30. Per qualsiasi insieme \( A \), l'insieme \( A \times \emptyset \) è vuoto, cioè \( A \times \emptyset = \emptyset \).
31. Se \( \{A_i\} \) è una collezione di sottoinsiemi di \( A \) tale che ogni elemento di \( A \) appartiene a esattamente uno degli \( A_i \), allora \( \{A_i\} \) non è una partizione di \( A \) se \( |A_i| = 1 \) per qualche \( i \).
32. Se \( \{A_i\}_{i \in I} \) è una collezione di sottoinsiemi di \( A \) tale che ogni elemento di \( A \) appartiene a esattamente uno degli \( A_i \), allora \( \{A_i\}_{i \in I} \) è una partizione di \( A \).
33. Se \( \{B_i\} \) è una partizione di \( B \) e \( A \subseteq B \), allora \( \{B_i\} \) è anche una partizione di \( A \).
34. Se \( A \) e \( B \) sono due insiemi con \( |A| = |B| \) e \( A \neq B \), allora \( |P(A)| \neq |P(B)| \).
35. Se \( A \) e \( B \) sono insiemi con lo stesso numero di elementi, allora \( P(A) = P(B) \).
36. Se \( A \) e \( B \) sono insiemi disgiunti, allora \( P(A) \) e \( P(B) \) sono anch'essi disgiunti.
37. Se \( A \) e \( B \) sono insiemi finiti e disgiunti, allora \( |A \cup B| = |A| + |B| \).
38. Se \( A \) e \( B \) sono insiemi tali che \( A \subseteq B \) e \( B \subseteq A \), allora \( A = B \).
39. Se \( A \) e \( B \) sono insiemi, allora \( A \cup B \) contiene tutti gli elementi che sono in \( A \), in \( B \), o in entrambi.
40. Se \( A \) e \( B \) sono insiemi, allora \( P(A \cap B) = P(A) \cap P(B) \).
41. Se \( A \) e \( B \) sono insiemi, la differenza simmetrica, denotata \( A \triangle B \), è l'insieme degli elementi che sono in \( A \) o in \( B \), ma non in entrambi.
42. Se \( A \) e \( B \) sono partizioni di un insieme \( C \), allora \( A \cap B \) è anche una partizione di \( C \).
43. Se \( A \) è un insieme finito, allora \( |P(A)| = 2^{|A|} + 1 \).
44. Se \( A \) è un insieme infinito, allora \( |A| < |P(A)| \) non è mai vero.
45. Se \( A \) è un insieme infinito, allora \( |A| < |P(A)| \), cioè l'insieme delle parti ha cardinalità maggiore dell'insieme originale.
46. Se \( A \) è un insieme, allora il suo insieme delle parti \( P(A) \) include insiemi di elementi non presenti in \( A \).
47. Se \( A \) è un sottoinsieme proprio di \( B \), allora \( |A| > |B| \).
48. Se \( A \subseteq B \), allora \( |A| = |B| \).
49. Se \( A \subseteq B \), allora ogni elemento di \( A \) è anche un elemento di \( B \).
50. Se \( P(A) \) rappresenta l'insieme delle parti di \( A \), allora \( P(A) \subset A \).
51. Se due insiemi hanno la stessa cardinalità, allora sono necessariamente lo stesso insieme.
52. Se ogni elemento di \( A \) è anche in \( B \), allora \( A \times B = B \times A \).
53. Tutti gli insiemi infiniti hanno la stessa cardinalità.
54. Un insieme \( A \) è un sottoinsieme proprio di \( B \), denotato \( A \subset B \), se \( A \subseteq B \) e \( A \neq B \).
55. Un insieme è considerato una partizione di se stesso.
56. Un insieme è un sottoinsieme proprio di se stesso.
57. Una partizione di un insieme \( A \) è una collezione di sottoinsiemi non vuoti di \( A \) tali che ogni elemento di \( A \) appartiene a esattamente uno dei sottoinsiemi.
58. Una partizione di un insieme \( A \) può avere sottoinsiemi che si sovrappongono.
59. Una partizione di un insieme \( A \) può contenere l'insieme vuoto come uno dei suoi blocchi.
60. Una partizione di un insieme \( A \) può essere un insieme di coppie ordinate.
61. Una partizione di un insieme può contenere elementi duplicati.