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10 Esercizi Complessi Risolti Passo per Passo

📚 Informazioni sugli Esercizi

Livello: Avanzato - Questi esercizi richiedono:

⚡ LIVELLO DIFFICOLTÀ: ALTO ⚡
Esercizio 1 ⭐⭐⭐⭐
Calcola: (x + 2)² - (x - 3)²

📝 Soluzione Completa:

💡 Strategia:
Sviluppo separatamente i due quadrati di binomio e poi sottraggo
Passo 1: Sviluppo il primo quadrato: (x + 2)² = x² + 4x + 4
Passo 2: Sviluppo il secondo quadrato: (x - 3)² = x² - 6x + 9
Passo 3: Sottraggo: (x² + 4x + 4) - (x² - 6x + 9)
Passo 4: Rimuovo le parentesi: x² + 4x + 4 - x² + 6x - 9
Passo 5: Sommo i termini simili: (x² - x²) + (4x + 6x) + (4 - 9) = 10x - 5
10x - 5
Esercizio 2 ⭐⭐⭐⭐
Calcola: (2x + 3)(2x - 3) + (x + 1)²

📝 Soluzione Completa:

💡 Strategia:
Uso somma per differenza per il primo termine e quadrato di somma per il secondo
Passo 1: Applico (a+b)(a-b) = a² - b²: (2x + 3)(2x - 3) = 4x² - 9
Passo 2: Applico (a+b)² = a² + 2ab + b²: (x + 1)² = x² + 2x + 1
Passo 3: Sommo: (4x² - 9) + (x² + 2x + 1)
Passo 4: Rimuovo le parentesi: 4x² - 9 + x² + 2x + 1
Passo 5: Sommo i termini simili: 5x² + 2x - 8
5x² + 2x - 8
Esercizio 3 ⭐⭐⭐⭐⭐
Calcola: (x + y)³ - (x - y)³

📝 Soluzione Completa:

💡 Strategia:
Sviluppo i due cubi e poi sottraggo termine a termine
Passo 1: Cubo di somma: (x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³
Passo 2: Cubo di differenza: (x - y)³ = x³ - 3x²y + 3xy² - y³
Passo 3: Sottraggo: (x³ + 3x²y + 3xy² + y³) - (x³ - 3x²y + 3xy² - y³)
Passo 4: Rimuovo le parentesi: x³ + 3x²y + 3xy² + y³ - x³ + 3x²y - 3xy² + y³
Passo 5: Sommo i termini simili: (x³ - x³) + (3x²y + 3x²y) + (3xy² - 3xy²) + (y³ + y³)
Passo 6: Risultato: 6x²y + 2y³
6x²y + 2y³
Esercizio 4 ⭐⭐⭐⭐
Calcola: (3a - 2b)² - (3a + 2b)(3a - 2b)

📝 Soluzione Completa:

💡 Strategia:
Primo termine: quadrato di differenza; Secondo termine: somma per differenza
Passo 1: Quadrato di differenza: (3a - 2b)² = 9a² - 12ab + 4b²
Passo 2: Somma per differenza: (3a + 2b)(3a - 2b) = 9a² - 4b²
Passo 3: Sottraggo: (9a² - 12ab + 4b²) - (9a² - 4b²)
Passo 4: Rimuovo le parentesi: 9a² - 12ab + 4b² - 9a² + 4b²
Passo 5: Sommo i termini simili: -12ab + 8b²
-12ab + 8b²
Esercizio 5 ⭐⭐⭐⭐⭐
Calcola: [(x + 1)² - 1]²

📝 Soluzione Completa:

💡 Strategia:
Prima semplifico l'espressione interna, poi elevo al quadrato
Passo 1: Sviluppo (x + 1)²: x² + 2x + 1
Passo 2: Sottraggo 1: (x² + 2x + 1) - 1 = x² + 2x
Passo 3: Raccolgo: x² + 2x = x(x + 2)
Passo 4: Elevo al quadrato: [x(x + 2)]² = x²(x + 2)²
Passo 5: Sviluppo (x + 2)²: x² + 4x + 4
Passo 6: Moltiplico: x²(x² + 4x + 4) = x⁴ + 4x³ + 4x²
x⁴ + 4x³ + 4x²
Esercizio 6 ⭐⭐⭐⭐
Calcola: (x + 2)³ + (x - 2)³

📝 Soluzione Completa:

💡 Strategia:
Sviluppo entrambi i cubi e sommo i termini simili
Passo 1: Cubo di somma: (x + 2)³ = x³ + 3x²·2 + 3x·4 + 8 = x³ + 6x² + 12x + 8
Passo 2: Cubo di differenza: (x - 2)³ = x³ - 3x²·2 + 3x·4 - 8 = x³ - 6x² + 12x - 8
Passo 3: Sommo: (x³ + 6x² + 12x + 8) + (x³ - 6x² + 12x - 8)
Passo 4: Unisco: x³ + 6x² + 12x + 8 + x³ - 6x² + 12x - 8
Passo 5: Sommo i termini simili: 2x³ + 24x
2x³ + 24x
Esercizio 7 ⭐⭐⭐⭐⭐
Calcola: (2x + y)² - 2(2x + y)(2x - y) + (2x - y)²

📝 Soluzione Completa:

💡 Strategia:
Riconosco la struttura: a² - 2ab + b² = (a - b)²
Passo 1: Pongo a = (2x + y) e b = (2x - y)
Passo 2: Riconosco: a² - 2ab + b² = (a - b)²
Passo 3: Quindi: [(2x + y) - (2x - y)]²
Passo 4: Semplifico l'interno: (2x + y - 2x + y)² = (2y)²
Passo 5: Risultato finale: 4y²
4y²
Esercizio 8 ⭐⭐⭐⭐
Calcola: (x + 3)² - (x - 1)(x + 5)

📝 Soluzione Completa:

💡 Strategia:
Sviluppo il quadrato e moltiplico i due binomi separatamente
Passo 1: Quadrato di somma: (x + 3)² = x² + 6x + 9
Passo 2: Prodotto di binomi: (x - 1)(x + 5) = x² + 5x - x - 5 = x² + 4x - 5
Passo 3: Sottraggo: (x² + 6x + 9) - (x² + 4x - 5)
Passo 4: Rimuovo le parentesi: x² + 6x + 9 - x² - 4x + 5
Passo 5: Sommo i termini simili: 2x + 14
2x + 14
Esercizio 9 ⭐⭐⭐⭐⭐
Calcola: (a + b + c)² - (a² + b² + c²)

📝 Soluzione Completa:

💡 Strategia:
Sviluppo il quadrato del trinomio usando (a+b+c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc
Passo 1: Quadrato del trinomio: (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc
Passo 2: Sottraggo: (a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc) - (a² + b² + c²)
Passo 3: Rimuovo le parentesi: a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc - a² - b² - c²
Passo 4: Sommo i termini simili: (a² - a²) + (b² - b²) + (c² - c²) + 2ab + 2ac + 2bc
Passo 5: Risultato finale: 2ab + 2ac + 2bc = 2(ab + ac + bc)
2ab + 2ac + 2bc
Esercizio 10 ⭐⭐⭐⭐⭐
Calcola: (x² + 1)² - (x² - 1)²

📝 Soluzione Completa:

💡 Strategia:
Riconosco a² - b² = (a+b)(a-b) dove a = (x²+1) e b = (x²-1)
Passo 1: Applico a² - b²: [(x² + 1) + (x² - 1)][(x² + 1) - (x² - 1)]
Passo 2: Semplifico il primo fattore: (x² + 1 + x² - 1) = 2x²
Passo 3: Semplifico il secondo fattore: (x² + 1 - x² + 1) = 2
Passo 4: Moltiplico: 2x² · 2 = 4x²
Metodo alternativo: Si potevano sviluppare entrambi i quadrati e poi sottrarre, ma sarebbe stato più lungo!
4x²

📊 RIEPILOGO COMPLETO - 10 ESERCIZI AVANZATI

N° Difficoltà Espressione Risultato
1 ⭐⭐⭐⭐ (x + 2)² - (x - 3)² 10x - 5
2 ⭐⭐⭐⭐ (2x + 3)(2x - 3) + (x + 1)² 5x² + 2x - 8
3 ⭐⭐⭐⭐⭐ (x + y)³ - (x - y)³ 6x²y + 2y³
4 ⭐⭐⭐⭐ (3a - 2b)² - (3a + 2b)(3a - 2b) -12ab + 8b²
5 ⭐⭐⭐⭐⭐ [(x + 1)² - 1]² x⁴ + 4x³ + 4x²
6 ⭐⭐⭐⭐ (x + 2)³ + (x - 2)³ 2x³ + 24x
7 ⭐⭐⭐⭐⭐ (2x + y)² - 2(2x + y)(2x - y) + (2x - y)² 4y²
8 ⭐⭐⭐⭐ (x + 3)² - (x - 1)(x + 5) 2x + 14
9 ⭐⭐⭐⭐⭐ (a + b + c)² - (a² + b² + c²) 2ab + 2ac + 2bc
10 ⭐⭐⭐⭐⭐ (x² + 1)² - (x² - 1)² 4x²

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