Prodotti Notevoli - LIVELLO DIABOLICO 😈

Esercizio 1 ! !!!!!!!

Calcola: [(x + 1)/(x - 1)]² - [(x - 1)/(x + 1)]²

📝 Soluzione Completa:

💡 Strategia:

Differenza di quadrati con frazioni algebriche: a² - b² = (a+b)(a-b)

⚠️ TRANELLO:

Le frazioni hanno denominatori diversi! Devi trovare il denominatore comune!

Passo 1: Pongo a = (x+1)/(x-1) e b = (x-1)/(x+1)

Passo 2: Applico a² - b² = (a+b)(a-b)

Passo 3: Calcolo (a+b): (x+1)/(x-1) + (x-1)/(x+1) = [(x+1)² + (x-1)²]/[(x-1)(x+1)]

Passo 4: Numeratore: (x+1)² + (x-1)² = x² + 2x + 1 + x² - 2x + 1 = 2x² + 2

Passo 5: Denominatore: (x-1)(x+1) = x² - 1

Passo 6: Quindi (a+b) = (2x² + 2)/(x² - 1) = 2(x² + 1)/(x² - 1)

Passo 7: Calcolo (a-b): (x+1)/(x-1) - (x-1)/(x+1) = [(x+1)² - (x-1)²]/[(x-1)(x+1)]

Passo 8: Numeratore: (x+1)² - (x-1)² = (x² + 2x + 1) - (x² - 2x + 1) = 4x

Passo 9: Quindi (a-b) = 4x/(x² - 1)

Passo 10: Moltiplico: [2(x² + 1)/(x² - 1)] · [4x/(x² - 1)] = 8x(x² + 1)/(x² - 1)²

8x(x² + 1)/(x² - 1)²

Esercizio 2 ! !!!!!!!

Calcola: [(2x/y + y/2x)² - 4][(2x/y - y/2x)² - 4]

📝 Soluzione Completa:

💡 Strategia:

Semplifico prima ogni quadrato, poi uso la differenza di quadrati finale

Passo 1: Primo quadrato: (2x/y + y/2x)² = (2x/y)² + 2·(2x/y)·(y/2x) + (y/2x)²

Passo 2: = 4x²/y² + 2 + y²/4x²

Passo 3: Quindi primo fattore: 4x²/y² + 2 + y²/4x² - 4 = 4x²/y² + y²/4x² - 2

Passo 4: Secondo quadrato: (2x/y - y/2x)² = 4x²/y² - 2 + y²/4x²

Passo 5: Quindi secondo fattore: 4x²/y² - 2 + y²/4x² - 4 = 4x²/y² + y²/4x² - 6

Passo 6: Pongo A = 4x²/y² + y²/4x²

Passo 7: L'espressione diventa: (A - 2)(A - 6)

Passo 8: Sviluppo: A² - 6A - 2A + 12 = A² - 8A + 12

Passo 9: Sostituisco A: (4x²/y² + y²/4x²)² - 8(4x²/y² + y²/4x²) + 12

Passo 10: = 16x⁴/y⁴ + 2 + y⁴/16x⁴ - 32x²/y² - 2y²/x² + 12

Passo 11: = 16x⁴/y⁴ + y⁴/16x⁴ - 32x²/y² - 2y²/x² + 14

16x⁴/y⁴ + y⁴/16x⁴ - 32x²/y² - 2y²/x² + 14

Esercizio 3 ! !!!!!!!

Calcola: [(x² + 1)/x]² - [(x² - 1)/x]² - 2

📝 Soluzione Completa:

💡 Strategia:

Differenza di quadrati per i primi due termini

Passo 1: Applico a² - b² con a = (x² + 1)/x e b = (x² - 1)/x

Passo 2: (a + b) = [(x² + 1) + (x² - 1)]/x = 2x²/x = 2x

Passo 3: (a - b) = [(x² + 1) - (x² - 1)]/x = 2/x

Passo 4: Quindi: a² - b² = 2x · (2/x) = 4

Passo 5: L'espressione completa: 4 - 2 = 2

2

Esercizio 4 ! !!!!!!!

Calcola: (a/b - b/a)³ + (a/b)³ - (b/a)³

📝 Soluzione Completa:

💡 Strategia:

Sviluppo il cubo di differenza e sommo/sottraggo gli altri cubi

Passo 1: Cubo di differenza: (a/b - b/a)³ = (a/b)³ - 3(a/b)²(b/a) + 3(a/b)(b/a)² - (b/a)³

Passo 2: = a³/b³ - 3·(a²/b²)·(b/a) + 3·(a/b)·(b²/a²) - b³/a³

Passo 3: = a³/b³ - 3a/b + 3b/a - b³/a³

Passo 4: Sommo (a/b)³: a³/b³ - 3a/b + 3b/a - b³/a³ + a³/b³

Passo 5: = 2a³/b³ - 3a/b + 3b/a - b³/a³

Passo 6: Sottraggo (b/a)³: 2a³/b³ - 3a/b + 3b/a - b³/a³ - b³/a³

Passo 7: = 2a³/b³ - 3a/b + 3b/a - 2b³/a³

2a³/b³ - 3a/b + 3b/a - 2b³/a³

Esercizio 5 ! !!!!!!!

Calcola: {[(x + y)/(x - y)]² - 1} · {[(x - y)/(x + y)]² - 1}

📝 Soluzione Completa:

💡 Strategia:

Uso a² - 1 = (a+1)(a-1) per entrambi i fattori

⚠️ ATTENZIONE:

Ci saranno molte semplificazioni incrociate!

Passo 1: Primo fattore con a² - 1: [(x+y)/(x-y)]² - 1 = [(x+y)/(x-y) + 1][(x+y)/(x-y) - 1]

Passo 2: [(x+y) + (x-y)]/(x-y) · [(x+y) - (x-y)]/(x-y) = (2x)/(x-y) · (2y)/(x-y)

Passo 3: = 4xy/(x-y)²

Passo 4: Secondo fattore: [(x-y)/(x+y)]² - 1 = [(x-y)/(x+y) + 1][(x-y)/(x+y) - 1]

Passo 5: = [(x-y) + (x+y)]/(x+y) · [(x-y) - (x+y)]/(x+y) = (2x)/(x+y) · (-2y)/(x+y)

Passo 6: = -4xy/(x+y)²

Passo 7: Moltiplico i due risultati: [4xy/(x-y)²] · [-4xy/(x+y)²]

Passo 8: = -16x²y²/[(x-y)²(x+y)²] = -16x²y²/(x² - y²)²

-16x²y²/(x² - y²)²

Esercizio 6 ! !!!!!!!

Calcola: [(x² + y²)/(xy)]² - [(x² - y²)/(xy)]² - 4

📝 Soluzione Completa:

💡 Strategia:

Differenza di quadrati, poi semplifico

Passo 1: Applico a² - b²: [(x² + y²)/(xy) + (x² - y²)/(xy)][(x² + y²)/(xy) - (x² - y²)/(xy)]

Passo 2: Primo fattore: [(x² + y²) + (x² - y²)]/(xy) = 2x²/(xy) = 2x/y

Passo 3: Secondo fattore: [(x² + y²) - (x² - y²)]/(xy) = 2y²/(xy) = 2y/x

Passo 4: Moltiplico: (2x/y) · (2y/x) = 4

Passo 5: Sottraggo 4: 4 - 4 = 0

0

Esercizio 7 ! !!!!!!!

Calcola: [(a²/b + b²/a)² - 4ab][(a²/b - b²/a)² + 4ab]

📝 Soluzione Completa:

💡 Strategia:

Semplifico ciascuna parentesi, poi applico (A-B)(A+B) = A² - B²

Passo 1: Calcolo (a²/b + b²/a)²: = a⁴/b² + 2·(a²/b)·(b²/a) + b⁴/a²

Passo 2: = a⁴/b² + 2ab + b⁴/a²

Passo 3: Primo fattore: a⁴/b² + 2ab + b⁴/a² - 4ab = a⁴/b² + b⁴/a² - 2ab

Passo 4: Calcolo (a²/b - b²/a)²: = a⁴/b² - 2ab + b⁴/a²

Passo 5: Secondo fattore: a⁴/b² - 2ab + b⁴/a² + 4ab = a⁴/b² + b⁴/a² + 2ab

Passo 6: Pongo A = a⁴/b² + b⁴/a² e B = 2ab

Passo 7: L'espressione è: (A - B)(A + B) = A² - B²

Passo 8: = (a⁴/b² + b⁴/a²)² - (2ab)²

Passo 9: = a⁸/b⁴ + 2·(a⁴/b²)·(b⁴/a²) + b⁸/a⁴ - 4a²b²

Passo 10: = a⁸/b⁴ + 2a²b² + b⁸/a⁴ - 4a²b²

Passo 11: = a⁸/b⁴ + b⁸/a⁴ - 2a²b²

a⁸/b⁴ + b⁸/a⁴ - 2a²b²

Esercizio 8 ! !!!!!!!

Calcola: {[(x + 1)² - (x - 1)²]/4}³

📝 Soluzione Completa:

💡 Strategia:

Prima semplifico la differenza di quadrati, poi elevo al cubo

Passo 1: Applico a² - b²: (x + 1)² - (x - 1)² = [(x+1)+(x-1)][(x+1)-(x-1)]

Passo 2: = (2x)(2) = 4x

Passo 3: Quindi la base è: 4x/4 = x

Passo 4: Elevo al cubo: x³

x³

Esercizio 9 ! !!!!!!!

Calcola: [(x/y)² + (y/x)²]² - [(x/y)² - (y/x)²]² - 8

📝 Soluzione Completa:

💡 Strategia:

Differenza di quadrati, poi semplifico il risultato

Passo 1: Pongo A = (x/y)² + (y/x)² e B = (x/y)² - (y/x)²

Passo 2: L'espressione è: A² - B² - 8 = (A+B)(A-B) - 8

Passo 3: Calcolo (A+B): [(x/y)² + (y/x)²] + [(x/y)² - (y/x)²] = 2(x/y)² = 2x²/y²

Passo 4: Calcolo (A-B): [(x/y)² + (y/x)²] - [(x/y)² - (y/x)²] = 2(y/x)² = 2y²/x²

Passo 5: Moltiplico: (2x²/y²)(2y²/x²) = 4

Passo 6: Risultato: 4 - 8 = -4

-4

Esercizio 10 ! !!!!!!!

Calcola: [(a + b)³ - (a - b)³]/[2ab] - 3(a² + b²)/(ab)

📝 Soluzione Completa:

💡 Strategia:

Sviluppo i cubi, semplifico, poi sottraggo il secondo termine

⚠️ BOSS FINALE:

Questo è l'esercizio più complesso! Richiede attenzione massima!

Passo 1: Cubo di somma: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Passo 2: Cubo di differenza: (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

Passo 3: Differenza: (a + b)³ - (a - b)³ = (a³ + 3a²b + 3ab² + b³) - (a³ - 3a²b + 3ab² - b³)

Passo 4: = 6a²b + 2b³ = 2b(3a² + b²)

Passo 5: Divido per 2ab: 2b(3a² + b²)/(2ab) = (3a² + b²)/a

Passo 6: Calcolo secondo termine: 3(a² + b²)/(ab) = 3a²/(ab) + 3b²/(ab) = 3a/b + 3b/a

Passo 7: Porto a denominatore comune il primo termine: (3a² + b²)/a = 3a/1 + b²/a

Passo 8: Sottraggo: (3a² + b²)/a - 3(a² + b²)/(ab)

Passo 9: = [(3a² + b²)b - 3(a² + b²)]/(ab)

Passo 10: = [3a²b + b³ - 3a² - 3b²]/(ab)

Passo 11: = [3a²b - 3a² + b³ - 3b²]/(ab)

Passo 12: = [3a²(b - 1) + b²(b - 3)]/(ab)

[3a²(b - 1) + b²(b - 3)]/(ab)

N°	Livello	Espressione	Risultato
1	!!!!!!!	[(x+1)/(x-1)]² - [(x-1)/(x+1)]²	8x(x²+1)/(x²-1)²
2	!!!!!!!	[(2x/y+y/2x)²-4][(2x/y-y/2x)²-4]	16x⁴/y⁴+y⁴/16x⁴-32x²/y²-2y²/x²+14
3	!!!!!!!	[(x²+1)/x]² - [(x²-1)/x]² - 2	2
4	!!!!!!!	(a/b-b/a)³+(a/b)³-(b/a)³	2a³/b³-3a/b+3b/a-2b³/a³
5	!!!!!!!	{[(x+y)/(x-y)]²-1}{[(x-y)/(x+y)]²-1}	-16x²y²/(x²-y²)²
6	!!!!!!!	[(x²+y²)/(xy)]²-[(x²-y²)/(xy)]²-4	0
7	!!!!!!!	[(a²/b+b²/a)²-4ab][(a²/b-b²/a)²+4ab]	a⁸/b⁴+b⁸/a⁴-2a²b²
8	!!!!!!!	{[(x+1)²-(x-1)²]/4}³	x³
9	!!!!!!!	[(x/y)²+(y/x)²]²-[(x/y)²-(y/x)²]²-8	-4
10	!!!!!!!	[(a+b)³-(a-b)³]/(2ab)-3(a²+b²)/(ab)	[3a²(b-1)+b²(b-3)]/(ab)

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⚠️ ATTENZIONE: ZONA DI PERICOLO ESTREMO ⚠️

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