1. Es. 635_243 Per risolvere l'equazione \(\left| \frac{1}{2} - x \right| = \frac{1}{3} x - \frac{1}{12}\), dobbiamo considerare i due casi dell'equazione assoluta:

    Caso 1:

    \(\frac{1}{2} - x \geq 0\) In questo caso, possiamo scrivere l'equazione senza il valore assoluto: \[ \frac{1}{2} - x = \frac{1}{3} x - \frac{1}{12} \] Portiamo tutti i termini con \(x\) da una parte e i termini costanti dall'altra: \[ \frac{1}{2} + \frac{1}{12} = \frac{1}{3} x + x \] Troviamo un denominatore comune: \[ \frac{6}{12} + \frac{1}{12} = \frac{4}{12} x \] \[ \frac{7}{12} = \frac{4}{12} x \] Moltiplichiamo entrambi i lati per \(\frac{12}{4}\): \[ \frac{7}{4} = x \]

    Caso 2:

    \(\frac{1}{2} - x < 0\) In questo caso, possiamo scrivere l'equazione con un valore assoluto negativo: \[ -\left( \frac{1}{2} - x \right) = \frac{1}{3} x - \frac{1}{12} \] \[ -\frac{1}{2} + x = \frac{1}{3} x - \frac{1}{12} \] Portiamo tutti i termini con \(x\) da una parte e i termini costanti dall'altra: \[ x - \frac{1}{3} x = -\frac{1}{2} + \frac{1}{12} \] Troviamo un denominatore comune: \[ \frac{3}{3} x - \frac{1}{3} x = -\frac{6}{12} + \frac{1}{12} \] \[ \frac{2}{3} x = -\frac{5}{12} \] Moltiplichiamo entrambi i lati per \(\frac{3}{2}\): \[ x = -\frac{5}{12} \cdot \frac{3}{2} \] \[ x = -\frac{15}{24} \] \[ x = -\frac{5}{8} \]

    Soluzioni

    Quindi, le soluzioni dell'equazione \(\left| \frac{1}{2} - x \right| = \frac{1}{3} x - \frac{1}{12}\) sono: \[ x = \frac{7}{4} \] \[ x = -\frac{5}{8} \] Se ci sono ulteriori chiarimenti necessari o se desideri controllare i passaggi, fammelo sapere! Certo! Ecco 10 esercizi di equazioni di primo grado o fattorizzabili con uno o due valori assoluti, con le relative soluzioni:
  2. Esercizio 1 \[ |x - 3| = 5 \]
    Soluzione:
    \[ x - 3 = 5 \quad \text{oppure} \quad x - 3 = -5 \] \[ x = 8 \quad \text{oppure} \quad x = -2 \]
  3. Esercizio 2 \[ |2x + 1| = 7 \]
    Soluzione:
    \[ 2x + 1 = 7 \quad \text{oppure} \quad 2x + 1 = -7 \] \[ 2x = 6 \quad \text{oppure} \quad 2x = -8 \] \[ x = 3 \quad \text{oppure} \quad x = -4 \]
  4. Esercizio 3 \[ |3x - 4| = 2 \]
    Soluzione:
    \[ 3x - 4 = 2 \quad \text{oppure} \quad 3x - 4 = -2 \] \[ 3x = 6 \quad \text{oppure} \quad 3x = 2 \] \[ x = 2 \quad \text{oppure} \quad x = \frac{2}{3} \]
  5. Esercizio 4 \[ |x + 2| = 3 \]
    Soluzione:
    \[ x + 2 = 3 \quad \text{oppure} \quad x + 2 = -3 \] \[ x = 1 \quad \text{oppure} \quad x = -5 \]
  6. Esercizio 5 \[ |4x - 1| = 9 \]
    Soluzione:
    \[ 4x - 1 = 9 \quad \text{oppure} \quad 4x - 1 = -9 \] \[ 4x = 10 \quad \text{oppure} \quad 4x = -8 \] \[ x = \frac{10}{4} = 2.5 \quad \text{oppure} \quad x = -2 \]
  7. Esercizio 6 \[ |x - 6| + 2 = 8 \]
    Soluzione:
    \[ |x - 6| = 6 \] \[ x - 6 = 6 \quad \text{oppure} \quad x - 6 = -6 \] \[ x = 12 \quad \text{oppure} \quad x = 0 \]
  8. Esercizio 7 \[ 2|x - 3| = 10 \]
    Soluzione:
    \[ |x - 3| = 5 \] \[ x - 3 = 5 \quad \text{oppure} \quad x - 3 = -5 \] \[ x = 8 \quad \text{oppure} \quad x = -2 \]
  9. Esercizio 8 \[ |5x + 4| = 6 \]
    Soluzione:
    \[ 5x + 4 = 6 \quad \text{oppure} \quad 5x + 4 = -6 \] \[ 5x = 2 \quad \text{oppure} \quad 5x = -10 \] \[ x = \frac{2}{5} \quad \text{oppure} \quad x = -2 \]
  10. Esercizio 9 \[ |3x + 2| - 4 = 5 \]
    Soluzione:
    \[ |3x + 2| = 9 \] \[ 3x + 2 = 9 \quad \text{oppure} \quad 3x + 2 = -9 \] \[ 3x = 7 \quad \text{oppure} \quad 3x = -11 \] \[ x = \frac{7}{3} \quad \text{oppure} \quad x = -\frac{11}{3} \]
  11. Esercizio 10 \[ |2x - 5| + 3 = 7 \]
    Soluzione:
    \[ |2x - 5| = 4 \] \[ 2x - 5 = 4 \quad \text{oppure} \quad 2x - 5 = -4 \] \[ 2x = 9 \quad \text{oppure} \quad 2x = 1 \] \[ x = \frac{9}{2} \quad \text{oppure} \quad x = \frac{1}{2} \] Spero che questi esercizi siano utili! Se hai bisogno di ulteriori chiarimenti, fammelo sapere. Certo! Ecco 10 esercizi di equazioni di primo grado o fattorizzabili con uno o due valori assoluti, con le relative soluzioni:
  12. Esercizio 1 \[ |x - 3| = 5 \]
    Soluzione:
    \[ x - 3 = 5 \quad \text{oppure} \quad x - 3 = -5 \] \[ x = 8 \quad \text{oppure} \quad x = -2 \]
  13. Esercizio 2 \[ |2x + 1| = 7 \]
    Soluzione:
    \[ 2x + 1 = 7 \quad \text{oppure} \quad 2x + 1 = -7 \] \[ 2x = 6 \quad \text{oppure} \quad 2x = -8 \] \[ x = 3 \quad \text{oppure} \quad x = -4 \]
  14. Esercizio 3 \[ |3x - 4| = 2 \]
    Soluzione:
    \[ 3x - 4 = 2 \quad \text{oppure} \quad 3x - 4 = -2 \] \[ 3x = 6 \quad \text{oppure} \quad 3x = 2 \] \[ x = 2 \quad \text{oppure} \quad x = \frac{2}{3} \]
  15. Esercizio 4 \[ |x + 2| = 3 \]
    Soluzione:
    \[ x + 2 = 3 \quad \text{oppure} \quad x + 2 = -3 \] \[ x = 1 \quad \text{oppure} \quad x = -5 \]
  16. Esercizio 5 \[ |4x - 1| = 9 \]
    Soluzione:
    \[ 4x - 1 = 9 \quad \text{oppure} \quad 4x - 1 = -9 \] \[ 4x = 10 \quad \text{oppure} \quad 4x = -8 \] \[ x = \frac{10}{4} = 2.5 \quad \text{oppure} \quad x = -2 \]
  17. Esercizio 6 \[ |x - 6| + 2 = 8 \]
    Soluzione:
    \[ |x - 6| = 6 \] \[ x - 6 = 6 \quad \text{oppure} \quad x - 6 = -6 \] \[ x = 12 \quad \text{oppure} \quad x = 0 \]
  18. Esercizio 7 \[ 2|x - 3| = 10 \]
    Soluzione:
    \[ |x - 3| = 5 \] \[ x - 3 = 5 \quad \text{oppure} \quad x - 3 = -5 \] \[ x = 8 \quad \text{oppure} \quad x = -2 \]
  19. Esercizio 8 \[ |5x + 4| = 6 \]
    Soluzione:
    \[ 5x + 4 = 6 \quad \text{oppure} \quad 5x + 4 = -6 \] \[ 5x = 2 \quad \text{oppure} \quad 5x = -10 \] \[ x = \frac{2}{5} \quad \text{oppure} \quad x = -2 \]
  20. Esercizio 9 \[ |3x + 2| - 4 = 5 \]
    Soluzione:
    \[ |3x + 2| = 9 \] \[ 3x + 2 = 9 \quad \text{oppure} \quad 3x + 2 = -9 \] \[ 3x = 7 \quad \text{oppure} \quad 3x = -11 \] \[ x = \frac{7}{3} \quad \text{oppure} \quad x = -\frac{11}{3} \]
  21. Esercizio 10 \[ |2x - 5| + 3 = 7 \]
    Soluzione:
    \[ |2x - 5| = 4 \] \[ 2x - 5 = 4 \quad \text{oppure} \quad 2x - 5 = -4 \] \[ 2x = 9 \quad \text{oppure} \quad 2x = 1 \] \[ x = \frac{9}{2} \quad \text{oppure} \quad x = \frac{1}{2} \] Spero che questi esercizi siano utili! Se hai bisogno di ulteriori chiarimenti, fammelo sapere. Certo! Ecco 5 esercizi più complessi che richiedono una discussione più approfondita dell'argomento del valore assoluto, inclusi alcuni con il valore assoluto al denominatore.
  22. Esercizio 1 \[ \frac{2|x - 1|}{x + 3} = 4 \]
    Soluzione:
    1. Consideriamo i due casi del valore assoluto:
    - Caso 1: \( x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1 \)
    - Caso 2: \( x - 1 < 0 \Rightarrow x < 1 \)
    Caso 1: \( x \geq 1 \)
    \[ \frac{2(x - 1)}{x + 3} = 4 \] \[ 2(x - 1) = 4(x + 3) \] \[ 2x - 2 = 4x + 12 \] \[ -2 = 2x + 12 \] \[ -14 = 2x \] \[ x = -7 \] Verifica: \( x = -7 \) non è possibile perché \(-7 < 1\).
    Caso 2: \( x < 1 \)
    \[ \frac{2(1 - x)}{x + 3} = 4 \] \[ 2(1 - x) = 4(x + 3) \] \[ 2 - 2x = 4x + 12 \] \[ 2 - 12 = 4x + 2x \] \[ -10 = 6x \] \[ x = -\frac{10}{6} = -\frac{5}{3} \] Verifica: \( -\frac{5}{3} < 1 \), quindi \( x = -\frac{5}{3} \) è una soluzione valida.
  23. Esercizio 2 \[ \frac{|x + 2|}{x - 1} = 3 \]
    Soluzione:
    1. Consideriamo i due casi del valore assoluto:
    - Caso 1: \( x + 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq -2 \)
    - Caso 2: \( x + 2 < 0 \Rightarrow x < -2 \)
    Caso 1: \( x \geq -2 \)
    \[ \frac{x + 2}{x - 1} = 3 \] \[ x + 2 = 3(x - 1) \] \[ x + 2 = 3x - 3 \] \[ 2 + 3 = 3x - x \] \[ 5 = 2x \] \[ x = \frac{5}{2} \] Verifica: \( \frac{5}{2} \geq -2 \), quindi \( x = \frac{5}{2} \) è una soluzione valida.
    Caso 2: \( x < -2 \)
    \[ \frac{-(x + 2)}{x - 1} = 3 \] \[ \frac{-x - 2}{x - 1} = 3 \] \[ -x - 2 = 3(x - 1) \] \[ -x - 2 = 3x - 3 \] \[ -2 + 3 = 3x + x \] \[ 1 = 4x \] \[ x = \frac{1}{4} \] Verifica: \( \frac{1}{4} \geq -2 \), quindi \( x = \frac{1}{4} \) non è valido.
  24. Esercizio 3 \[ |2x - 3| + |x + 4| = 10 \]
    Soluzione:
    1. Consideriamo i tre casi del valore assoluto:
    - Caso 1: \( 2x - 3 \geq 0 \) e \( x + 4 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{3}{2} \)
    - Caso 2: \( 2x - 3 \geq 0 \) e \( x + 4 < 0 \Rightarrow \frac{3}{2} \leq x < -4 \)
    - Caso 3: \( 2x - 3 < 0 \) e \( x + 4 \geq 0 \Rightarrow x < \frac{3}{2} \)
    Caso 1: \( x \geq \frac{3}{2} \)
    \[ 2x - 3 + x + 4 = 10 \] \[ 3x + 1 = 10 \] \[ 3x = 9 \] \[ x = 3 \] Verifica: \( 3 \geq \frac{3}{2} \), quindi \( x = 3 \) è una soluzione valida.
    Caso 2: Nessun \( x \) soddisfa \(\frac{3}{2} \leq x < -4 \).

    Caso 3: \( x < \frac{3}{2} \)
    \[ -(2x - 3) + x + 4 = 10 \] \[ -2x + 3 + x + 4 = 10 \] \[ -x + 7 = 10 \] \[ -x = 3 \] \[ x = -3 \] Verifica: \( -3 < \frac{3}{2} \), quindi \( x = -3 \) è una soluzione valida.
  25. Esercizio 4 \[ \frac{|3x - 2|}{2x + 1} = 2 \]
    Soluzione:
    1. Consideriamo i due casi del valore assoluto:
    - Caso 1: \( 3x - 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{2}{3} \)
    - Caso 2: \( 3x - 2 < 0 \Rightarrow x < \frac{2}{3} \)
    Caso 1: \( x \geq \frac{2}{3} \)
    \[ \frac{3x - 2}{2x + 1} = 2 \] \[ 3x - 2 = 2(2x + 1) \] \[ 3x - 2 = 4x + 2 \] \[ -2 - 2 = 4x - 3x \] \[ -4 = x \] Verifica: \( -4 < \frac{2}{3} \), quindi \( x = -4 \) non è valido.
    Caso 2: \( x < \frac{2}{3} \)
    \[ \frac{-(3x - 2)}{2x + 1} = 2 \] \[ \frac{-3x + 2}{2x + 1} = 2 \] \[ -3x + 2 = 2(2x + 1) \] \[ -3x + 2 = 4x + 2 \] \[ 2 - 2 = 4x + 3x \] \[ 0 = 7x \] \[ x = 0 \] Verifica: \( 0 < \frac{2}{3} \), quindi \( x = 0 \) è una soluzione valida.
  26. Esercizio 5 \[ \frac{|x - 4|}{|x + 1|} = 2 \]
    Soluzione:
    1. Consideriamo i quattro casi del valore assoluto:
    - Caso 1: \( x - 4 \geq 0 \) e \( x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 4 \)
    - Caso 2: \( x - 4 \geq 0 \) e \( x + 1 < 0 \Rightarrow 4 \leq x < -1 \)
    - Caso 3: \( x - 4 < 0 \) e \( x + 1 \geq 0 \Rightarrow x < 4 \)
    - Caso 4: \( x - 4 < 0 \) e \( x + 1 < 0 \Rightarrow x < -1 \)
    Caso 1: \( x \geq 4 \)
    \[ \frac{x - 4}{x + 1} = 2 \] \[ x - 4 = 2(x + 1) \] \[ x - 4 = 2x + 2 \] \[ -4 - 2 = 2x - x \] \[ -6 = x \] Verifica: \( -6 \geq 4 \) non è possibile.
    Caso 2: Nessun \( x \) soddisfa \(4 \leq x < -1\).

    Caso 3: \( x < 4 \)
    \[ \frac{-(x - 4)}{x + 1} = 2 \] \[ \frac{-x + 4}{x + 1} = 2 \] \[ -x + 4 = 2(x + 1) \] \[ -x + 4 = 2x + 2 \] \[ 4 - 2 = 2x + x \] \[ 2 = 3x \] \[ x = \frac{2}{3} Certo! Ecco 5 esercizi più complessi che richiedono una discussione più approfondita dell'argomento del valore assoluto, inclusi alcuni con il valore assoluto al denominatore.
  27. Esercizio 1 \[ \frac{2|x - 1|}{x + 3} = 4 \]
    Soluzione:
    1. Consideriamo i due casi del valore assoluto:
    - Caso 1: \( x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1 \)
    - Caso 2: \( x - 1 < 0 \Rightarrow x < 1 \)
    Caso 1: \( x \geq 1 \)
    \[ \frac{2(x - 1)}{x + 3} = 4 \] \[ 2(x - 1) = 4(x + 3) \] \[ 2x - 2 = 4x + 12 \] \[ -2 = 2x + 12 \] \[ -14 = 2x \] \[ x = -7 \] Verifica: \( x = -7 \) non è possibile perché \(-7 < 1\).
    Caso 2: \( x < 1 \)
    \[ \frac{2(1 - x)}{x + 3} = 4 \] \[ 2(1 - x) = 4(x + 3) \] \[ 2 - 2x = 4x + 12 \] \[ 2 - 12 = 4x + 2x \] \[ -10 = 6x \] \[ x = -\frac{10}{6} = -\frac{5}{3} \] Verifica: \( -\frac{5}{3} < 1 \), quindi \( x = -\frac{5}{3} \) è una soluzione valida.
  28. Esercizio 2 \[ \frac{|x + 2|}{x - 1} = 3 \]
    Soluzione:
    1. Consideriamo i due casi del valore assoluto:
    - Caso 1: \( x + 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq -2 \)
    - Caso 2: \( x + 2 < 0 \Rightarrow x < -2 \)
    Caso 1: \( x \geq -2 \)
    \[ \frac{x + 2}{x - 1} = 3 \] \[ x + 2 = 3(x - 1) \] \[ x + 2 = 3x - 3 \] \[ 2 + 3 = 3x - x \] \[ 5 = 2x \] \[ x = \frac{5}{2} \] Verifica: \( \frac{5}{2} \geq -2 \), quindi \( x = \frac{5}{2} \) è una soluzione valida.
    Caso 2: \( x < -2 \)
    \[ \frac{-(x + 2)}{x - 1} = 3 \] \[ \frac{-x - 2}{x - 1} = 3 \] \[ -x - 2 = 3(x - 1) \] \[ -x - 2 = 3x - 3 \] \[ -2 + 3 = 3x + x \] \[ 1 = 4x \] \[ x = \frac{1}{4} \] Verifica: \( \frac{1}{4} \geq -2 \), quindi \( x = \frac{1}{4} \) non è valido.
  29. Esercizio 3 \[ |2x - 3| + |x + 4| = 10 \]
    Soluzione:
    1. Consideriamo i tre casi del valore assoluto:
    - Caso 1: \( 2x - 3 \geq 0 \) e \( x + 4 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{3}{2} \)
    - Caso 2: \( 2x - 3 \geq 0 \) e \( x + 4 < 0 \Rightarrow \frac{3}{2} \leq x < -4 \)
    - Caso 3: \( 2x - 3 < 0 \) e \( x + 4 \geq 0 \Rightarrow x < \frac{3}{2} \)
    Caso 1: \( x \geq \frac{3}{2} \)
    \[ 2x - 3 + x + 4 = 10 \] \[ 3x + 1 = 10 \] \[ 3x = 9 \] \[ x = 3 \] Verifica: \( 3 \geq \frac{3}{2} \), quindi \( x = 3 \) è una soluzione valida.
    Caso 2: Nessun \( x \) soddisfa \(\frac{3}{2} \leq x < -4 \).

    Caso 3: \( x < \frac{3}{2} \)
    \[ -(2x - 3) + x + 4 = 10 \] \[ -2x + 3 + x + 4 = 10 \] \[ -x + 7 = 10 \] \[ -x = 3 \] \[ x = -3 \] Verifica: \( -3 < \frac{3}{2} \), quindi \( x = -3 \) è una soluzione valida.
  30. Esercizio 4 \[ \frac{|3x - 2|}{2x + 1} = 2 \]
    Soluzione:
    1. Consideriamo i due casi del valore assoluto:
    - Caso 1: \( 3x - 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{2}{3} \)
    - Caso 2: \( 3x - 2 < 0 \Rightarrow x < \frac{2}{3} \)
    Caso 1: \( x \geq \frac{2}{3} \)
    \[ \frac{3x - 2}{2x + 1} = 2 \] \[ 3x - 2 = 2(2x + 1) \] \[ 3x - 2 = 4x + 2 \] \[ -2 - 2 = 4x - 3x \] \[ -4 = x \] Verifica: \( -4 < \frac{2}{3} \), quindi \( x = -4 \) non è valido.
    Caso 2: \( x < \frac{2}{3} \)
    \[ \frac{-(3x - 2)}{2x + 1} = 2 \] \[ \frac{-3x + 2}{2x + 1} = 2 \] \[ -3x + 2 = 2(2x + 1) \] \[ -3x + 2 = 4x + 2 \] \[ 2 - 2 = 4x + 3x \] \[ 0 = 7x \] \[ x = 0 \] Verifica: \( 0 < \frac{2}{3} \), quindi \( x = 0 \) è una soluzione valida.
  31. Esercizio 5 \[ \frac{|x - 4|}{|x + 1|} = 2 \]
    Soluzione:
    1. Consideriamo i quattro casi del valore assoluto:
    - Caso 1: \( x - 4 \geq 0 \) e \( x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 4 \)
    - Caso 2: \( x - 4 \geq 0 \) e \( x + 1 < 0 \Rightarrow 4 \leq x < -1 \)
    - Caso 3: \( x - 4 < 0 \) e \( x + 1 \geq 0 \Rightarrow x < 4 \)
    - Caso 4: \( x - 4 < 0 \) e \( x + 1 < 0 \Rightarrow x < -1 \)
    Caso 1: \( x \geq 4 \)
    \[ \frac{x - 4}{x + 1} = 2 \] \[ x - 4 = 2(x + 1) \] \[ x - 4 = 2x + 2 \] \[ -4 - 2 = 2x - x \] \[ -6 = x \] Verifica: \( -6 \geq 4 \) non è possibile.
    Caso 2: Nessun \( x \) soddisfa \(4 \leq x < -1\).

    Caso 3: \( x < 4 \)
    \[ \frac{-(x - 4)}{x + 1} = 2 \] \[ \frac{-x + 4}{x + 1} = 2 \] \[ -x + 4 = 2(x + 1) \] \[ -x + 4 = 2x + 2 \] \[ 4 - 2 = 2x + x \] \[ 2 = 3x \] \[ x = \frac{2}{3} Certo, continuo con la soluzione degli esercizi rimanenti.
    Verifica:
    \[ \frac{2}{3} < 4 \Rightarrow x = \frac{2}{3} \] è una soluzione valida.
    Caso 4: \( x < -1 \)
    \[ \frac{-(x - 4)}{-(x + 1)} = 2 \] \[ \frac{-x + 4}{-x - 1} = 2 \] \[ -x + 4 = 2(-x - 1) \] \[ -x + 4 = -2x - 2 \] \[ 4 + 2 = -2x + x \] \[ 6 = -x \] \[ x = -6 \] Verifica: \( -6 < -1 \Rightarrow x = -6 \] è una soluzione valida.
  32. Esercizio 6 \[ |x^2 - 4| = 5 \]
    Soluzione:
    1. Consideriamo i due casi del valore assoluto:
    - Caso 1: \( x^2 - 4 \geq 0 \Rightarrow x^2 \geq 4 \)
    - Caso 2: \( x^2 - 4 < 0 \Rightarrow x^2 < 4 \)
    Caso 1: \( x^2 \geq 4 \)
    \[ x^2 - 4 = 5 \] \[ x^2 = 9 \] \[ x = \pm 3 \]
    Caso 2: \( x^2 < 4 \)
    \[ -(x^2 - 4) = 5 \] \[ -x^2 + 4 = 5 \] \[ -x^2 = 1 \] \[ x^2 = -1 \] Non ci sono soluzioni reali.
    Soluzione finale:
    \[ x = 3 \quad \text{oppure} \quad x = -3 \]
  33. Esercizio 7 \[ |x - 2| + |2x + 1| = 6 \]
    Soluzione:
    1. Consideriamo i tre casi del valore assoluto:
    - Caso 1: \( x - 2 \geq 0 \) e \( 2x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2 \)
    - Caso 2: \( x - 2 \geq 0 \) e \( 2x + 1 < 0 \Rightarrow x \geq 2 \)
    - Caso 3: \( x - 2 < 0 \) e \( 2x + 1 \geq 0 \Rightarrow x < 2 \)
    - Caso 4: \( x - 2 < 0 \) e \( 2x + 1 < 0 \Rightarrow x < -\frac{1}{2} \)
    Caso 1: \( x \geq 2 \)
    \[ (x - 2) + (2x + 1) = 6 \] \[ 3x - 1 = 6 \] \[ 3x = 7 \] \[ x = \frac{7}{3} \] Verifica: \( \frac{7}{3} \geq 2 \), quindi \( x = \frac{7}{3} \) è una soluzione valida.
    Caso 2: \( -\frac{1}{2} \leq x < 2 \)
    \[ (x - 2) + (2x + 1) = 6 \] \[ x - 2 - (2x + 1) = 6 \] \[ x - 2 - 2x - 1 = 6 \] \[ -x - 3 = 6 \] \[ -x = 9 \] \[ x = -9 \] Non ci sono soluzioni reali.
    Caso 3: \( x < 2 \)
    \[ -(x - 2) + (2x + 1) = 6 \] \[ -x + 2 + 2x + 1 = 6 \] \[ x + 3 = 6 \] \[ x = 3 \] Verifica: \( 3 \geq 2 \), quindi \( x = 3 \) non è valido.
    Caso 4: \( x < -\frac{1}{2} \)
    \[ -(x - 2) - (2x + 1) = 6 \] \[ -x + 2 - 2x - 1 = 6 \] \[ -3x + 1 = 6 \] \[ -3x = 5 \] \[ x = -\frac{5}{3} \] Verifica: \( -\frac{5}{3} < -\frac{1}{2} \), quindi \( x = -\frac{5}{3} \) è una soluzione valida.
  34. Esercizio 8 \[ \frac{|x + 3|}{|x - 2|} = 3 \]
    Soluzione:
    1. Consideriamo i quattro casi del valore assoluto:
    - Caso 1: \( x + 3 \geq 0 \) e \( x - 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2 \)
    - Caso 2: \( x + 3 \geq 0 \) e \( x - 2 < 0 \Rightarrow x \geq 2 \)
    - Caso 3: \( x + 3 < 0 \) e \( x - 2 \geq 0 \Rightarrow x < 2 \)
    - Caso 4: \( x + 3 < 0 \) e \( x - 2 < 0 \Rightarrow x < 2 \)
    Caso 1: \( x \geq 2 \)
    \[ \frac{x + 3}{x - 2} = 3 \] \[ x + 3 = 3(x - 2) \] \[ x + 3 = 3x - 6 \] \[ 3 + 6 = 3x - x \] \[ 9 = 2x \] \[ x = \frac{9}{2} \] Verifica: \( \frac{9}{2} \geq 2 \), quindi \( x = \frac{9}{2} \) è una soluzione valida.
    Caso 2: Nessun \( x \) soddisfa \(4 \leq x < -1\).

    Caso 3: \( x < 2 \)
    \[ \frac{-(x + 3)}{x - 2} = 3 \] \[ \frac{-x - 3}{x - 2} = 3 \] \[ -x - 3 = 3(x - 2) \] \[ -x - 3 = 3x - 6 \] \[ -3 + 6 = 3x + x \] \[ 3 = 4x \] \[ x = \frac{3}{4} \] Verifica: \( \frac{3}{4} < 2 \), quindi \( x = \frac{3}{4} \) è una soluzione valida.
    Caso 4: \( x < -1 \)
    \[ \frac{-(x + 3)}{-(x - 2)} = 3 \] \[ \frac{-x - 3}{-x - 2} = 3 \] \[ -x - 3 = 3(-x - 2) \] \[ -x - 3 = -3x - 6 \] \[ 3 + 6 = -3x + x \] \[ 9 = -2x \] \[ x = -\frac{9}{2} \] Verifica: \( -\frac{9}{2} < -\frac{1}{2} \), quindi \( x = -\frac{9}{2} \) è una soluzione valida.
  35. Esercizio 9 \[ |2x + 1| + |x - 3| = 7 \]
    Soluzione:
    1. Consideriamo i tre casi del valore assoluto:
    - Caso 1: \( 2x + 1 \geq 0 \) e \( x - 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq 3 \)
    - Caso 2: \( 2x + 1 \geq 0 \) e \( x - 3 < 0 \Rightarrow -\frac{1}{2} \leq x < 3 \)
    - Caso 3: \( 2x + 1 < 0 \) e \( x - 3 \geq 0 \Rightarrow x < -\frac{1}{2} \)
    Caso 1: \( x \geq 3 \)
    \[ 2x + 1 + x - 3 = 7 \] \[ 3x - 2 = 7 \] \[ 3x = 9 \] \[ x = 3 \] Verifica: \( x = 3 \) è una soluzione valida.
    Caso 2: \( -\frac{1}{2} \leq x < 3 \)
    \[ 2x + 1 - (x - 3) = 7 \] Certamente, continuo con la soluzione dell'Esercizio 9 e l'Esercizio 10.
    Caso 2: \( -\frac{1}{2} \leq x < 3 \)
    \[ 2x + 1 - (x - 3) = 7 \] \[ 2x + 1 - x + 3 = 7 \] \[ x + 4 = 7 \] \[ x = 3 \] Verifica: \( x = 3 \) non è valido in questo intervallo (\( x < 3 \)).
    Caso 3: \( x < -\frac{1}{2} \)
    \[ -(2x + 1) + (x - 3) = 7 \] \[ -2x - 1 + x - 3 = 7 \] \[ -x - 4 = 7 \] \[ -x = 11 \] \[ x = -11 \] Verifica: \( x = -11 \) è una soluzione valida perché \( -11 < -\frac{1}{2} \).
    Soluzione finale:
    \[ x = 3 \quad \text{oppure} \quad x = -11 \]
  36. Esercizio 10 \[ \frac{|x^2 - 4x|}{|x - 1|} = 2 \]
    Soluzione:
    1. Consideriamo i quattro casi del valore assoluto:
    - Caso 1: \( x^2 - 4x \geq 0 \) e \( x - 1 \geq 0 \Rightarrow x(x - 4) \geq 0 \) e \( x \geq 1 \)
    - Caso 2: \( x^2 - 4x \geq 0 \) e \( x - 1 < 0 \Rightarrow x(x - 4) \geq 0 \) e \( x < 1 \)
    - Caso 3: \( x^2 - 4x < 0 \) e \( x - 1 \geq 0 \Rightarrow x(x - 4) < 0 \) e \( x \geq 1 \)
    - Caso 4: \( x^2 - 4x < 0 \) e \( x - 1 < 0 \Rightarrow x(x - 4) < 0 \) e \( x < 1 \)
    Caso 1: \( x \geq 1 \) e \( x(x - 4) \geq 0 \)
    \[ \frac{x(x - 4)}{x - 1} = 2 \] \[ x(x - 4) = 2(x - 1) \] \[ x^2 - 4x = 2x - 2 \] \[ x^2 - 6x + 2 = 0 \] Usiamo la formula quadratica: \[ x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 8}}{2} \] \[ x = \frac{6 \pm \sqrt{28}}{2} \] \[ x = \frac{6 \pm 2\sqrt{7}}{2} \] \[ x = 3 \pm \sqrt{7} \] Verifica: \[ 3 + \sqrt{7} > 1 \quad \text{e} \quad 3 - \sqrt{7} < 1 \] Quindi, \( x = 3 + \sqrt{7} \) è valido, ma \( x = 3 - \sqrt{7} \) non è valido in questo caso.
    Caso 2: \( x < 1 \) e \( x(x - 4) \geq 0 \)
    \[ x(x - 4) = 2(x - 1) \] Nessun \( x \) soddisfa entrambe le condizioni.
    Caso 3: \( x \geq 1 \) e \( x(x - 4) < 0 \)
    \[ \frac{-(x(x - 4))}{x - 1} = 2 \] \[ \frac{-x^2 + 4x}{x - 1} = 2 \] \[ -x^2 + 4x = 2(x - 1) \] \[ -x^2 + 4x = 2x - 2 \] \[ -x^2 + 2x + 2 = 0 \] Usiamo la formula quadratica: \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 8}}{-2} \] \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{-2} \] \[ x = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{-2} \] \[ x = 1 \pm \sqrt{3} \] Verifica: \[ 1 + \sqrt{3} \geq 1 \quad \text{e} \quad 1 - \sqrt{3} < 1 \] Quindi, \( x = 1 + \sqrt{3} \) è valido, ma \( x = 1 - \sqrt{3} \) non è valido in questo caso.
    Caso 4: \( x < 1 \) e \( x(x - 4) < 0 \)
    \[ \frac{-(x(x - 4))}{x - 1} = 2 \] \[ \frac{-x^2 + 4x}{x - 1} = 2 \] \[ -x^2 + 4x = 2(x - 1) \] \[ -x^2 + 4x = 2x - 2 \] \[ -x^2 + 2x + 2 = 0 \] Usiamo la formula quadratica: \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 8}}{-2} \] \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{-2} \] \[ x = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{-2} \] \[ x = 1 \pm \sqrt{3} \] Verifica: \[ 1 - \sqrt{3} < 1 \quad \text{e} \quad 1 + \sqrt{3} < 1 \] Quindi, \( x = 1 - \sqrt{3} \) è valido.
    Soluzione finale:
    \[ x = 3 + \sqrt{7} \quad \text{oppure} \quad x = 1 + \sqrt{3} \quad \text{oppure} \quad x = 1 - \sqrt{3} \] Spero che questi esercizi siano utili! Se hai bisogno di ulteriori chiarimenti, fammelo sapere.