01 \( P(\emptyset) \) è un insieme vuoto.
**Falso.** \( P(\emptyset) \) rappresenta l'insieme delle parti dell'insieme vuoto, che è \( \{\emptyset\} \), quindi non è vuoto ma contiene l'insieme vuoto come unico elemento.
02 \( P(A \cup B) \) è sempre uguale a \( P(A) \cup P(B) \).
**Falso.** L'insieme delle parti di \( A \cup B \) contiene tutti i sottoinsiemi formati dagli elementi di \( A \), \( B \), e tutte le loro possibili combinazioni, mentre \( P(A) \cup P(B) \) contiene solo i sottoinsiemi di \( A \) e i sottoinsiemi di \( B \), ma non i sottoinsiemi che includono elementi sia di \( A \) che di \( B \).
04 Due insiemi \( A \) e \( B \) sono detti disgiunti se \( A \cap B = \emptyset \).
**Vero.** Per definizione, due insiemi sono disgiunti se non hanno elementi in comune, cioè se la loro intersezione è l'insieme vuoto.
05 Due insiemi sono disgiunti se hanno almeno un elemento in comune.
**Falso.** Questo è l'opposto della definizione di insiemi disgiunti. Se hanno un elemento in comune, non sono disgiunti.
06 Il complemento di un insieme \( A \) rispetto a un insieme \( B \), denotato \( B - A \), contiene tutti gli elementi di \( B \) che non sono in \( A \).
**Vero.** Questa è la definizione corretta del complemento di \( A \) in \( B \).
07 Il complemento di un insieme A rispetto a un insieme B contiene tutti gli elementi di A più alcuni elementi di B
**Falso.** Il complemento di \( A \) in \( B \) contiene gli elementi di \( B \) che non sono in \( A \), e non include alcun elemento di \( A \).
08 Il prodotto cartesiano di \( A \) e \( B \), denotato \( A \times B \), è l'insieme di tutte le coppie ordinate \( (a, b) \) dove \( a \) è in \( A \) e \( b \) è in \( B \).
**Vero.** Questa è la definizione corretta del prodotto cartesiano.
09 Il prodotto cartesiano di un insieme con se stesso è sempre un insieme vuoto.
**Falso.** Il prodotto cartesiano di un insieme con se stesso contiene tutte le coppie ordinate dove entrambi gli elementi sono dallo stesso insieme.
10 Il simbolo \( |A \times A| \) rappresenta la cardinalità dell'unione di \( A \) con se stesso.
**Falso.** Il simbolo \( |A \times A| \) rappresenta la cardinalità del prodotto cartesiano di \( A \) con se stesso, non l'unione.
11 Il simbolo \( A \times B \) denota l'unione di \( A \) e \( B \).
**Falso.** Il simbolo \( A \times B \) rappresenta il prodotto cartesiano di \( A \) e \( B \), non la loro unione.
12 L'insieme delle parti di un insieme \( A \), denotato \( P(A) \), è l'insieme di tutti i possibili sottoinsiemi di \( A \) inclusi \( A \) stesso e l'insieme vuoto \( \emptyset \)
**Vero.** Questa è la definizione corretta dell'insieme delle parti.
13 L'insieme delle parti di un insieme è un suo sottoinsieme.
**Falso.** L'insieme delle parti di un insieme \( A \) non è un sottoinsieme di \( A \), ma un insieme che contiene tutti i sottoinsiemi di \( A \) come elementi.
14 L'insieme delle parti di un insieme infinito è un insieme finito.
**Falso.** L'insieme delle parti di un insieme infinito è anch'esso infinito, e in realtà ha una cardinalità maggiormente infinita (seguendo la teoria dei numeri transfiniti di Cantor).
15 L'insieme vuoto \( \emptyset \) è un sottoinsieme di ogni insieme. 15.
**Vero.** L'insieme vuoto \( \emptyset \) è definitivamente un sottoinsieme di ogni insieme, per definizione di sottoinsieme.
16 L'insieme vuoto contiene un elemento unico, che è il simbolo di insieme vuoto. 16.
**Falso.** L'insieme vuoto non contiene alcun elemento, nemmeno il simbolo di insieme vuoto. Il simbolo \( \emptyset \) è solo la rappresentazione dell'insieme che non ha elementi.
17 L'intersezione di due insiemi \( A \cap B \) contiene tutti gli elementi che sono sia in \( A \) che in \( B \). 17.
**Vero.** L'intersezione di due insiemi \( A \cap B \) contiene tutti e soli gli elementi che sono sia in \( A \) che in \( B \).
18 L'intersezione di due insiemi può contenere elementi che non appartengono ad alcuno dei due insiemi. 18.
**Falso.** L'intersezione di due insiemi non può contenere elementi che non appartengono ad alcuno dei due insiemi. Contiene solo elementi che sono presenti in entrambi.
19 L'unione di due insiemi è sempre un insieme più piccolo dei due insiemi di partenza. 19.
**Falso.** L'unione di due insiemi \( A \cup B \) è un insieme che contiene tutti gli elementi che sono in \( A \), in \( B \), o in entrambi. Pertanto, la sua cardinalità non può essere inferiore alla cardinalità di entrambi gli insiemi di partenza a meno che \( A \) e \( B \) non siano uguali.
20 La cardinalità dell'insieme delle parti di \( A \), denotata con \( |P(A)| \), è uguale a \( |A| \). 20.
**Falso.** La cardinalità dell'insieme delle parti di \( A \) è \( 2^{|A|} \), non \( |A| \). Per un insieme con \( n \) elementi, ci sono \( 2^n \) possibili sottoinsiemi, inclusi l'insieme stesso e l'insieme vuoto.
21 La cardinalità dell'insieme vuoto \( |\emptyset| \) è 0. 21.
**Vero.** La cardinalità dell'insieme vuoto \( |\emptyset| \) è infatti 0 perché non contiene elementi.
22 La cardinalità dell'insieme vuoto \( |\emptyset| \) è 1. 22.
**Falso.** Come detto in precedenza, la cardinal alità dell'insieme vuoto \( |\emptyset| \) è infatti 0 perché non contiene elementi.
23 La cardinalità di un insieme \( A \), denotata \( |A| \), è il numero di sottoinsiemi propri che \( A \) possiede. 23.
**Falso.** La cardinalità di un insieme \( A \), denotata \( |A| \), è il numero di elementi in \( A \), non il numero di sottoinsiemi propri che \( A \) possiede.
24 La cardinalità di un insieme finito \( A \), denotata \( |A| \), è il numero di elementi in \( A \). 24.
**Vero.** La cardinalità di un insieme finito \( A \), denotata \( |A| \), è il numero di elementi in \( A \).
25 La differenza simmetrica di un insieme con se stesso contiene tutti gli elementi di quell'insieme. 25.
**Falso.** La differenza simmetrica di un insieme con se stesso \( A \triangle A \) è vuota, perché tutti gli elementi si annullano a vicenda.
26 La relazione \( |A \times B| = |A| + |B| \) è sempre vera per qualsiasi insieme \( A \) e \( B \). 26.
**Falso.** La relazione \( |A \times B| = |A| \cdot |B| \), non \( |A| + |B| \). La formula corretta rappresenta il numero di coppie ordinate che possono essere formate prendendo un elemento da \( A \) e uno da \( B \).
27 La relazione \( |P(A)| = 2^{|A|} \) vale per ogni insieme finito \( A \). 27.
**Vero.** La relazione \( |P(A)| = 2^{|A|} \) vale per ogni insieme finito \( A \) perché l'insieme delle parti contiene tutti i possibili sottoinsiemi di \( A \), inclusi l'insieme vuoto e \( A \) stesso.
28 Ogni insieme è un sottoinsieme dell'insieme delle parti di se stesso, cioè \( A \subseteq P(A) \). 28.
**Falso.** Questa affermazione è al contrario; \( P(A) \) è un sottoinsieme di \( A \) non è corretto. In realtà, \( A \) è un elemento di \( P(A) \).
29 Per qualsiasi insieme \( A \), il simbolo \( A - A \) rappresenta il suo insieme delle parti. 29.
**Falso.** Il simbolo \( A - A \), o \( A \setminus A \), rappresenta la differenza di insieme, che è l'insieme vuoto, non l'insieme delle parti di \( A \).
30 Per qualsiasi insieme \( A \), l'insieme \( A \times \emptyset \) è vuoto, cioè \( A \times \emptyset = \emptyset \). 30.
**Vero.** L'insieme prodotto di un insieme con l'insieme vuoto \( A \times \emptyset \) è vuoto, perché non ci sono elementi nell'insieme vuoto con cui formare coppie ordinate.
31 Se \( \{A_i\} \) è una collezione di sottoinsiemi di \( A \) tale che ogni elemento di \( A \) appartiene a esattamente uno degli \( A_i \), allora \( \{A_i\} \) non è una partizione di \( A \) se \( |A_i| = 1 \) per qualche \( i \). 31.
**Falso.** Se \( \{A_i\} \) è una collezione di sottoinsiemi di \( A \) tale che ogni elemento di \( A \) appartiene a esattamente uno degli \( A_i \), allora \( \{A_i\} \) è una partizione di \( A \), anche se \( |A_i| = 1 \) per qualche \( i \).
32 Se \( \{A_i\}_{i \in I} \) è una collezione di sottoinsiemi di \( A \) tale che ogni elemento di \( A \) appartiene a esattamente uno degli \( A_i \), allora \( \{A_i\}_{i \in I} \) è una partizione di \( A \). 32.
**Vero.** Questa è la definizione di una partizione: una collezione di sottoinsiemi disgiunti che coprono l'intero insieme.
33 Se \( \{B_i\} \) è una partizione di \( B \) e \( A \subseteq B \), allora \( \{B_i\} \) è anche una partizione di \( A \). 33.
**Falso.** Se \( \{B_i\} \) è una partizione di \( B \), non è necessariamente una partizione di \( A \) a meno che ogni \( B_i \) sia interamente contenuto in \( A \) o escluso da \( A \).
34 Se \( A \) e \( B \) sono due insiemi con \( |A| = |B| \) e \( A \neq B \), allora \( |P(A)| \neq |P(B)| \). 34.
**Falso.** Se \( |A| = |B| \) e \( A \neq B \), \( |P(A)| \) può comunque essere uguale a \( |P(B)| \) perché la cardinalità dell'insieme delle parti dipende dal numero di elementi in \( A \) e \( B \), non dagli elementi specifici.
35 Se \( A \) e \( B \) sono insiemi con lo stesso numero di elementi, allora \( P(A) = P(B) \). 35.
**Falso.** \( P(A) \) e \( P(B) \) sono l'insieme delle parti di \( A \) e \( B \) rispettivamente. Anche se \( A \) e \( B \) hanno lo stesso numero di elementi, ciò non implica che \( P(A) = P(B) \), a meno che \( A \) non sia uguale a \( B \).
36 Se \( A \) e \( B \) sono insiemi disgiunti, allora \( P(A) \) e \( P(B) \) sono anch'essi disgiunti. 36.
**Falso.** Anche se \( A \) e \( B \) sono insiemi disgiunti, i loro insiemi delle parti \( P(A) \) e \( P(B) \) non sono necessariamente disgiunti perché entrambi contengono l'insieme vuoto.
37 Se \( A \) e \( B \) sono insiemi finiti e disgiunti, allora \( |A \cup B| = |A| + |B| \). 37.
**Vero.** Se \( A \) e \( B \) sono insiemi finiti e disgiunti, allora la cardinalità della loro unione \( |A \cup B| \) è uguale alla somma delle loro cardinalità \( |A| + |B| \).
38 Se \( A \) e \( B \) sono insiemi tali che \( A \subseteq B \) e \( B \subseteq A \), allora \( A = B \). 38.
**Vero.** Se \( A \subseteq B \) e \( B \subseteq A \), allora ogni elemento di \( A \) è in \( B \) e viceversa, quindi \( A \) e \( B \) sono uguali.
39 Se \( A \) e \( B \) sono insiemi, allora \( A \cup B \) contiene tutti gli elementi che sono in \( A \), in \( B \), o in entrambi. 39.
**Vero.** L'unione \( A \cup B \) di due insiemi \( A \) e \( B \) contiene tutti gli elementi che sono in \( A \), in \( B \), o in entrambi.
40 Se \( A \) e \( B \) sono insiemi, allora \( P(A \cap B) = P(A) \cap P(B) \). 40.
**Falso.** In generale, \( P(A \cap B) \) non è uguale a \( P(A) \cap P(B) \). Tuttavia, è vero che \( P(A \cap B) \subseteq P(A) \cap P(B) \).
41 Se \( A \) e \( B \) sono insiemi, la differenza simmetrica, denotata \( A \triangle B \), è l'insieme degli elementi che sono in \( A \) o in \( B \), ma non in entrambi. 41.
**Vero.** La differenza simmetrica \( A \triangle B \) è definita come l'insieme degli elementi che appartengono o a \( A \) o a \( B \), ma non a entrambi.
42 Se \( A \) e \( B \) sono partizioni di un insieme \( C \), allora \( A \cap B \) è anche una partizione di \( C \). 42.
**Falso.** Se \( A \) e \( B \) sono partizioni di un insieme \( C \), \( A \cap B \) non è necessariamente una partizione di \( C \) perché l'intersezione di due sottoinsiemi di differenti partizioni potrebbe non essere un sottoinsieme proprio di \( C \), o potrebbe essere vuota. Inoltre, per essere una partizione, ogni elemento di \( C \) deve essere presente in esattamente uno dei sottoinsiemi dell'intersezione, il che non è garantito in questo caso.
43 Se \( A \) è un insieme finito, allora \( |P(A)| = 2^{|A|} + 1 \). 43.
**Falso.** Per un insieme finito \( A \), l'insieme delle parti \( P(A) \) ha cardinalità \( 2^{|A|} \), non \( 2^{|A|} + 1 \).
44 Se \( A \) è un insieme infinito, allora \( |A| < |P(A)| \) non è mai vero. 44.
**Falso.** Il teorema di Cantor dimostra che per qualsiasi insieme \( A \), incluso un insieme infinito, la cardinalità del suo insieme delle parti \( P(A) \) è sempre maggiore di \( |A| \), ovvero \( |A| < |P(A)| \).
45 Se \( A \) è un insieme infinito, allora \( |A| < |P(A)| \), cioè l'insieme delle parti ha cardinalità maggiore dell'insieme originale. 45.
**Vero.** Per il teorema di Cantor, se \( A \) è un insieme infinito, allora \( |A| < |P(A)| \), il che significa che l'insieme delle parti di \( A \) ha una cardinalità maggiore dell'insieme \( A \) stesso.
46 Se \( A \) è un insieme, allora il suo insieme delle parti \( P(A) \) include insiemi di elementi non presenti in \( A \). 46.
**Falso.** L'insieme delle parti \( P(A) \) di un insieme \( A \) include solo insiemi di elementi che sono presenti in \( A \). Non può includere elementi che non fanno parte di \( A \).
47 Se \( A \) è un sottoinsieme proprio di \( B \), allora \( |A| > |B| \). 47.
**Falso.** Se \( A \) è un sottoinsieme proprio di \( B \), allora \( |A| < |B| \).
48 Se \( A \subseteq B \), allora \( |A| = |B| \). 48.
**Falso.** Se \( A \subseteq B \), allora la cardinalità di \( A \) può essere uguale o minore di quella di \( B \). \( |A| = |B| \) solo se \( A \) e \( B \) sono uguali.
49 Se \( A \subseteq B \), allora ogni elemento di \( A \) è anche un elemento di \( B \). 49.
**Vero.** Se \( A \subseteq B \), allora per definizione, ogni elemento di \( A \) è anche un elemento di \( B \).
50 Se \( P(A) \) rappresenta l'insieme delle parti di \( A \), allora \( P(A) \subset A \). 50.
**Falso.** Se \( P(A) \) rappresenta l'insieme delle parti di \( A \), allora \( P(A) \) non è un sottoinsieme di \( A \); piuttosto \( A \) è un elemento di \( P(A) \).
51 Se due insiemi hanno la stessa cardinalità, allora sono necessariamente lo stesso insieme. 51.
**Falso.** Due insiemi possono avere la stessa cardinalità senza essere lo stesso insieme. Per esempio, \( \{1, 2, 3\} \) e \( \{4, 5, 6\} \) hanno la stessa cardinalità ma sono insiemi distinti.
52 Se ogni elemento di \( A \) è anche in \( B \), allora \( A \times B = B \times A \). 52.
**Falso.** Anche se ogni elemento di \( A \) è anche in \( B \), questo non implica che \( A \times B = B \times A \), a meno che \( A \) e \( B \) non siano lo stesso insieme. Il prodotto cartesiano non è commutativo in generale.
53 Tutti gli insiemi infiniti hanno la stessa cardinalità. 53.
**Falso.** Non tutti gli insiemi infiniti hanno la stessa cardinalità. Per esempio, la cardinalità dell'insieme dei numeri interi è diversa dalla cardinalità dell'insieme dei numeri reali.
54 Un insieme \( A \) è un sottoinsieme proprio di \( B \), denotato \( A \subset B \), se \( A \subseteq B \) e \( A \neq B \). 54.
**Vero.** Se \( A \) è un sottoinsieme proprio di \( B \), denotato \( A \subset B \), significa che \( A \subseteq B \) e \( A \neq B \).
55 Un insieme è considerato una partizione di se stesso. 55.
**Falso.** Un insieme non è considerato una partizione di se stesso. Una partizione di un insieme \( A \) è una collezione di sottoinsiemi non vuoti e non sovrapponenti di \( A \) che, presi insieme, ricoprono l'intero insieme \( A \).
56 Un insieme è un sottoinsieme proprio di se stesso. 56.
**Falso.** Un insieme non può essere un sottoinsieme proprio di se stesso perché per definizione un sottoinsieme proprio \( A \subset B \) implica che \( A \) è contenuto in \( B \) e che \( A \neq B \).
57 Una partizione di un insieme \( A \) è una collezione di sottoinsiemi non vuoti di \( A \) tali che ogni elemento di \( A \) appartiene a esattamente uno dei sottoinsiemi. 57.
**Vero.** Una partizione di un insieme \( A \) è esattamente questo: una collezione di sottoinsiemi non vuoti di \( A \) tali che ogni elemento di \( A \) appartiene a esattamente uno dei sottoinsiemi.
58 Una partizione di un insieme \( A \) può avere sottoinsiemi che si sovrappongono. 58.
**Falso.** Una partizione di un insieme \( A \) non può avere sottoinsiemi che si sovrappongono; ogni elemento deve appartenere a esattamente un sottoinsieme nella partizione.
59 Una partizione di un insieme \( A \) può contenere l'insieme vuoto come uno dei suoi blocchi. 59.
**Falso.** Una partizione di un insieme \( A \) non può contenere l'insieme vuoto come uno dei suoi blocchi, poiché ogni blocco deve contenere almeno un elemento di \( A \).
60 Una partizione di un insieme \( A \) può essere un insieme di coppie ordinate. 60.
**Falso.** Una partizione di un insieme \( A \) è una collezione di sottoinsiemi di \( A \) e non una collezione di coppie ordinate. Le coppie ordinate sono tipicamente elementi di un prodotto cartesiano, non di una partizione.
61 Una partizione di un insieme può contenere elementi duplicati. 61.
**Falso.** Una partizione di un insieme non può contenere elementi duplicati perché ogni elemento dell'insieme deve appartenere a un unico sottoinsieme nella partizione.